Cilindrični preseci

Razmotrimo standardni kružni cilindar zadatog jednačinom

x^{2}+y^{2}=R^{2}.

Neka ravan bude zadata jednacinom \(\alpha\::\:ax+by+cz+d=0\). Interesuju nas preseci ravni sa cilindrom.

Za konkretnost u primerima uzimamo \(R=2\), tj. cilindar \(x^{2}+y^{2}=4.\)

Krug

Ravan normalna na osu cilindra seče cilindar po krugu (pogledati skicu).

Primer: ravan \(z=1\) seče cilindar po krugu

x^{2}+y^{2}=4,\qquad z=1.

Elipsa

Ravan koja nije vertikalna ni horizontalna (iskošena ravan) seče cilindar po elipsi (pogledati skicu).

Primer: ravan \(z=\frac{1}{2}x+1\) seče cilindar po elipsi

x^{2}+y^{2}=4,\qquad z=\frac{1}{2}x+1.

Dve paralelne prave

Ravan koja sadrži osu, ili je paralelna osi i na rastojanju strogo manjem od \(R\) od nje, seče cilindar po dve paralelne prave (pogledati skicu).

Primer: ravan \(x=1\) je vertikalna i u \((x,y)\)-ravni preseče krug \(x^{2}+y^{2}=4\) u dve tačke

1^{2}+y^{2}=4\;\Longrightarrow\;y^{2}=3\;\Longrightarrow\;y=\pm\sqrt{3}.

Pošto je \(z\) slobodan parametar, preseci su dve paralelne prave

\{(1,\sqrt{3},z):z\in\mathbb{R}\}\quad\text{i}\quad\{(1,-\sqrt{3},z):z\in\mathbb{R}\}.

Prava

Ako je vertikalna ravan takva da prava u \((x,y)\)-ravni dodiruje krug (tangentna), dobijamo jednu pravu (duplu) (pogledati skicu).

Primer: ravan \(x=2\) (tangentna u tački \((2,0)\) na krug \(x^{2}+y^{2}=4\)) daje u preseku jednu pravu:

\{(2,0,z):z\in\mathbb{R}\}.

Prazan skup

Vertikalna ravan koja u \((x,y)\)-ravni ne dira krug (udaljena više od \(R\) od centra) nema preseka (pogledati skicu).

Primer: ravan \(x=3\) nema preseka sa cilindrom \(x^{2}+y^{2}=4\) jer dobijamo

3^{2}+y^{2}=4

što nema realna rešenja po \(y.\)