Površi u prostoru



Površi u prostoru – 1

U ovoj temi dajemo pregled osnovnih tipova površi u trodimenzionom prostoru. Za svaku površ opisani su naziv, standardna jednačina (implicitna i kada je
prikladno parametarska), primeri kako površ nastaje (npr. rotacijom krive oko prave), i osnovne osobine. Poseban deo posvećen je konusnim presecima (krug,
elipsa, parabola, hiperbola) sa primerima dobijenim presekom ravni i konusa.

Sfera

Jednačina sfere sa centrom u \(C=(x_{0},y_{0},z_{0})\) i poluprečnikom \(R\) je

\[ S\,:\,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2}. \]

Parametarska (sferne koordinate):

\[ \begin{cases} x=x_{0}+R\sin\theta\cos\varphi, & 0\leq\varphi\leq2\pi\\ y=y_{0}+R\sin\theta\sin\varphi, & 0\leq\theta\leq\pi\\ z=z_{0}+R\cos\theta
\end{cases}. \]

Najčešće ćemo se sretati sa sferom čiji je centar koordinatni početak

\[ S\,:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}. \]

Nastanak: rotacijom kruga oko prave koja sadrži njegov centar. Na primer, rotacija kruga \(x^{2}+y^{2}=R^{2}\) za \(x\in[-R,R]\) oko \(x\)-ose daje sferu
poluprečnika \(R\).

Elipsoid

Standardna jednačina elipsoida čiji je centar koordinatni početak

\[ \mathcal{E\,}:\,\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1. \]

Parametarska (uopštene sferne koordinate):

\[ \begin{cases} x=a\sin\theta\cos\varphi, & 0\leq\varphi\leq2\pi\\ y=b\sin\theta\sin\varphi, & 0\leq\theta\leq\pi\\ z=cR\cos\theta \end{cases} \]

Nastanak: rotacijom elipse oko jedne od njenih osa. Primetimo da se dobijaju različiti elipsoidi u zavisnosti od toga oko koje ose rotira elipsa.

Cilindar

Cilindrična površ se dobija kada kroz svaku tačku neke krive \(C\) (direktrisa) povučemo pravu paralelnu jednoj fiksnoj pravoj \(g\) (osa cilindra).

Dakle, sve generatrise su međusobno paralelne.

Standardna (pravilni cilindar oko \(z\)-ose):

\[ x^{2}+y^{2}=R^{2}. \]

Parametarska (cilindrične koordinate)

\[ \begin{cases} x=R\cos\varphi,\\ y=R\sin\varphi, & 0\leq\varphi\leq2\pi.\\ z=z \end{cases} \]

Nastanak: translacijom krive (npr. kruga) duž prave (osa valjka).