Površi u prostoru – 2

Konus

Konusna površ se dobija kada kroz jednu fiksnu tačku \(V\) povučemo sve prave (generatrise) koje prolaze kroz tačke jedne zadate krive \(C\) (direktrisa),
pri čemu \(O\notin C\).

Dakle, sve generatrise prolaze kroz vrh. Mi ćemo se najčešće sretati sa kružnim ili eliptičnim konusom.

Standardna jednačina:

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}}.

Za \(a=b\) ovo je konus nad krugom, dok za \(a\neq b\) dobijamo konus nad elipsom. Kroz zadatke ćemo uglavnom sretati kružni konus

x^{2}+y^{2}=z^{2}.

Parametarska (kružni konus):

x=t\cos\theta,\quad y=t\sin\theta,\quad z=kt,\qquad t\in\mathbb{R},\ \theta\in[0,2\pi),

gde se konstanta \(k\) odnosi na nagib prave generatrise.

Nastanak: rotacijom prave (koja prolazi kroz vrh) oko ose koja prolazi kroz istu tačku.

Paraboloidi

Eliptički paraboloid

Jednačina

z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}.

Nastanak: rotacijom parabole \(z=\frac{x^{2}}{a^{2}}\) oko \(z\)-ose

Presek ravni \(z=z_{0}\) je elipsa, dok su preseci sa \(x=0\) ili \(y=0\) parabole.

Hiperbolički paraboloid (sedlo)

Jednačina

z=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}.

Njegova karakteristična osobina je da se preseci sa ravnima paralelnim sa koordinatnim osama daju parabole, dok preseci sa horizontalnim ravnima daju hiperbole.

Hiperboloidi

Jednograni hiperboloid

Jednačina

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.

Nastanak: rotacijom hiperbole \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\) oko \(z\)-ose

Dvograni hiperboloid

Jednačina

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1.

Nastanak: rotacijom hiperbole \(\frac{z^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{c^{2}}=1\) oko \(z\)-ose