Konusni preseci

Razmotrimo standardni kružni konus sa vrhom u \(O\) zadatog jednačinom

x^{2}+y^{2}=z^{2}.

Neka ravan bude zadata jednacinom \(\alpha\::\:ax+by+cz+d=0\). Interesuju nas preseci ravni sa konusom.

Krug

Ako ravan seče jednu stranu konusa, ne prolazi kroz vrh i normalna je na osu konusa, dobijamo krug (pogledati skicu).

Primer: ravan \(z=z_{0}>0\) preseče konus po krugu \(x^{2}+y^{2}=z_{0}^{2}.\)

Elipsa

Ako ravan nije paralelna nijednoj generatrisi konusa niti normalna na osu, ne prolazi kroz vrh i seče jednu stranu konusa, onda je presek elipsa (pogledati skicu).

Primer: ravan \(z=3-\frac{1}{2}x\) preseče konus po elipsi

x^{2}+y^{2}=\bigl(3-\frac{1}{2}x\bigr)^{2}=9-3x+\frac{1}{4}x^{2}\:\Rightarrow\:\frac{3}{4}x^{2}+y^{2}+3x-9=0

Parabola

Ravan koja je paralelna nekoj generatrisi konusa, seče jednu stranu konusa po paraboli (pogledati skicu).

Primer: ravan \(z=x+1\) seče konus po paraboli

x^{2}+y^{2}=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\;\Longrightarrow\;y^{2}=2x+1.

Hiperbola

Ako ravan seče obe strane konusa (tj. ima veći nagib od generatrise), onda u preseku dobijamo hiperbolu (pogledati skicu).

Primer: ravan \(z=2x+1\) seče konus po hiperboli

x^{2}+y^{2}=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1\;\Rightarrow\;3x^{2}-y^{2}+4x+1=0.

Degenerisani slučajevi

Tačka

Ravan koja prolazi kroz vrh konusa i seče ga samo u toj tački (pogledati skicu).

Primer: ravan \(z=0\) seče konus po vrhu

x^{2}+y^{2}=0\;\Rightarrow\;V(0,0,0).

Dve prave koje se seku

Ravan koja sadrži osu konusa seče konus po dve prave koje se seku u vrhu (pogledati skicu).

Primer: ravan \(x=0\) seče konus po pravama

y^{2}=z^{2}\;\Rightarrow\;y=\pm z.

Jedna prava

Ravan koja sadrži tačno jednu generatrisu konusa seče ga baš po toj pravoj koja je generatrisa (pogledati skicu).

Primer: ravan \(z=x\) seče konus po pravoj

x^{2}+y^{2}=x^{2}\;\Rightarrow\;y^{2}=0\;\Rightarrow\;y=0,\ z=x.