{Zadatak 1}
Odrediti integral:
\[I = \int x \cdot \arctan^2(x)\, dx\]
{Rešenje}
Imamo dati integral:
\[
I = \int x \cdot \arctan^2(x) \, dx
\]
Koristićemo parcijalnu integraciju. Formula za parcijalnu integraciju je:
\[
\int u \, dv = uv – \int v \, du
\]
gde su \( u \) i \( v \) funkcije koje odaberemo u zavisnosti od integrala. Izaberemo:
\[
u = \arctan^2 x, \quad dv = x \, dx
\]
Zato su:
\[
du = \frac{2 \arctan x}{1+x^2} \, dx, \quad v = \frac{x^2}{2}
\]
Primena formule daje:
\[
I = \frac{x^2}{2} \arctan^2 x – \int \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} \, dx
\]
{Razlaganje integrala:}
Razlažemo integral na dva dela:
\[
\int \frac{x^2 \arctan x}{1+x^2} \, dx = \int \arctan x \, dx – \int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx
\]
{Prvi integral:}
Za prvi integral \( \int \arctan x \, dx \) koristićemo parcijalnu integraciju. Postavimo:
\[
u = \arctan x, \quad dv = dx
\]
Zato imamo:
\[
du = \frac{1}{1+x^2} \, dx, \quad v = x
\]
Sada primenjujemo formulu parcijalne integracije:
\[
\int \arctan x \, dx = x \arctan x – \int \frac{x}{1+x^2} \, dx
\]
Za integral \( \int \frac{x}{1+x^2} \, dx \) koristimo metodu smene:
\[
t = 1 + x^2, \quad dt = 2x \, dx
\]
Dakle:
\[
\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2)
\]
Zbog toga imamo:
\[
\int \arctan x \, dx = x \arctan x – \frac{1}{2} \ln(1+x^2)
\]
{Drugi integral:}
Za drugi integral \( \int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx \), koristićemo ponovo parcijalnu integraciju. Postavimo:
\[
u = \arctan x, \quad dv = \frac{1}{1+x^2} \, dx
\]
Zato imamo:
\[
du = \frac{1}{1+x^2} \, dx, \quad v = \arctan x
\]
Primena parcijalne integracije daje:
\[
\int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arctan^2 x
\]
{Konačni rezultat:}
Sada možemo da završimo integral:
\[
I = \frac{x^2}{2} \arctan^2 x – \left( x \arctan x – \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \right) + \frac{1}{2} \arctan^2 x
\]
Kombinovanjem svih članova dobijamo:
\[
I = \frac{x^2}{2} \arctan^2 x – x \arctan x + \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + \frac{1}{2} \arctan^2 x + C
\]
{Zadatak 2:}
Izračunati
\[\int_{-3}^{-2} \frac{1-\sqrt[3]{x+3}}{1+\sqrt[3]{x+3}} \, dx\]
Rešenje
Postavićemo i rešavaćemo ovaj integral kao neodredjeni, pa ćemo na kraju vratiti granice.
Neka je smena \(t = \sqrt[6]{x+3}\). Tada je \(dx = 6t^5 dt\). \[
t = \sqrt[6]{x+3} \Rightarrow t^2 = \sqrt[3]{x+3}, \quad t^6 = x+3, \quad dx = 6 t^5 dt
\]
\[I = \int \frac{1-t^3}{1+t^2} \cdot 6 t^5 dt = 6 \int \frac{t^5 – t^8}{1+t^2} dt = 6 \cdot \left(\int \frac{t^5}{1+t^2} dt – \int \frac{t^8}{1+t^2} dt \right)\]
Sada kada imamo dva zasebna integrala, rešavaćemo ih odvojeno.
\[I_1 = \int \frac{t^5}{1+t^2} dt = \int \left(t^3 – t + \frac{t}{1+t^2}\right) dt = \int t^3 dt – \int t dt + \int \frac{t}{1+t^2} dt\]
Sada uvodimo još jednu smenu i ubacujemo je u integral.
\[1 + t^2 = m, \quad 2t dt = dm, \quad dt = \frac{dm}{2t}\]
\[\int t^3 dt – \int t dt + \frac{1}{2} \int \frac{1}{m} dm = \frac{t^4}{4} – \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2} \ln |m| + C = \frac{t^4}{4} – \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2} \ln |1+t^2| + C\]
\[
I_2 = \int \frac{t^8}{1+t^2} dt = \int t^6 dt – \int t^4 dt + \int t^2 dt – \int dt + \int \frac{1}{1+t^2} dt = \frac{t^7}{7} – \frac{t^5}{5} + \frac{t^3}{3} – t + \arctan t + C
\]
Nakon rešavanja oba integrala, možemo se vratiti na početni i oduzeti ih.
\[I = 6 \cdot (I_1 – I_2) = 6 \cdot \left(\frac{t^4}{4} – \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2} \ln |1+t^2| – \frac{t^7}{7} + \frac{t^5}{5} – \frac{t^3}{3} + t – \arctan t \right) + C\]
Sada vraćamo smenu \( t = \sqrt[6]{x+3} \) i ubacujemo granice:
\[I = 6 \cdot \left(\frac{\sqrt[6]{(x+3)^4}}{4} – \frac{\sqrt[6]{(x+3)^2}}{2} + \frac{1}{2} \ln \left(1 + \sqrt[6]{(x+3)^2}\right) – \frac{\sqrt[6]{(x+3)^7}}{7} + \frac{\sqrt[6]{(x+3)^5}}{5} – \frac{\sqrt[6]{(x+3)^3}}{3} + \sqrt[6]{x+3} – \arctan \sqrt[6]{x+3} \right) \bigg|_{-3}^{-2}\]
Donja granica \( x = -3 \) daje rezultat 0 kada ubacimo jer je:
\[\sqrt[6]{(x+3)} = \sqrt[6]{0} = 0\]
\[\ln(1+0) = \ln 1 = 0, \quad \arctan 0 = 0\]
Tako da je rezultat sledeći:
\[I = 6 \cdot \left(\frac{1}{2} \ln 2 – \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} – \frac{1}{2} – \frac{1}{7} + \frac{1}{5} – \frac{1}{3} + 1 \right)\]
Nalazimo zajednički delilac i dobijamo konačno rešenje:
\[
I = 6 \cdot \left(\frac{1}{2} \ln 2 – \frac{\pi}{4} + \frac{199}{420}\right) = 3 \ln 2 – \frac{3 \pi}{2} + \frac{199}{70}
\]