Teorijski uvod
Za krivu koja rotira oko ose \(x\): ako je kriva data kao \(y=f(x)\), \(x\in[a,b]\), a \(f\ge 0\), površina omotača pri obrtanju oko ose \(x\) je \[ P_x=2\pi \int_a^b f(x)\,\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx. \] Za krivu oko ose \(y\): ako je data eksplicitno \(x=g(y)\), \(y\in[c,d]\), \(g\ge 0\), onda \[ P_y=2\pi \int_c^d g(y)\,\sqrt{1+\big(g'(y)\big)^2}\,dy. \] Napomene. (i) Ako se rotira oko prave \(y=k\) ili \(x=k\), u formulama zameniti poluprečnik sa \(|f(x)-k|\) ili \(|g(y)-k|\). (ii) Kod nesvojstvenih integrala proveriti konvergenciju.Kratki pregled:
- \(y=f(x)\) oko ose \(x\) → koristi se formula \( P_x = 2\pi \int_a^b f(x)\,\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.\)
- \(x=g(y)\) oko ose \(y\) → koristi se formula \( P_y = 2\pi \int_c^d g(y)\,\sqrt{1+(g'(y))^2}\,dy.\)
- Parametarska kriva \((x(t),y(t))\):
- oko ose \(x\): \( P_x = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta} y(t)\,\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt,\)
- oko ose \(y\): \( P_y = 2\pi \int_{\alpha}^{\beta} x(t)\,\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt.\)
- Oko pomerene ose \(y=k\) ili \(x=k\) → poluprečnik je rastojanje do te ose, npr. \(|f(x)-k|\) ili \(|g(y)-k|\).
P1. Obrtanje krive \(y=\sqrt{x}\) na intervalu \([0,4]\) oko ose \(x\)
Tekst zadatka
Izračunati površinu omotača pri obrtanju krive \(y=\sqrt{x}\), \(x\in[0,4]\), oko ose \(x\).Rešenje
\(f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\). \[ P=2\pi\int_0^4 \sqrt{x}\,\sqrt{1+\frac{1}{4x}}\,dx =\pi\int_0^4 \sqrt{4x+1}\,dx =\frac{\pi}{6}\left.(4x+1)^{3/2}\right|_{0}^{4} =\frac{\pi}{6}\left(17\sqrt{17}-1\right). \] Rezultat: \( \frac{\pi}{6}\left(17\sqrt{17}-1\right) \)P2. Obrtanje oko ose \(y\): \(x=y^{2}+\frac12\), \(y\in[0,1]\)
Tekst zadatka
Izračunati površinu omotača pri obrtanju krive \(x=y^{2}+\frac12\) oko ose \(y\)).Rešenje:
Površina pri rotaciji oko ose \(y\): \[ P=2\pi\int_{0}^{1}\Big(y^{2}+\frac12\Big)\sqrt{1+4y^{2}}\,dy. \] Koristimo prvu Euler-ovu smenu za \(\sqrt{1+4y^{2}}\): \[ \sqrt{1+4y^{2}}=2y+t \quad(\;t>0\;). \] Kvadriranjem ovog izraza možemo lako izraziti \(y\), odakle se dobija \[ y=\frac{1-t^{2}}{4t},\qquad \sqrt{1+4y^{2}}=\frac{1+t^{2}}{2t},\qquad dy=-\frac{1+t^{2}}{4t^{2}}\,dt. \] Granice se preslikavaju: \(y=0\Rightarrow t=1\), \(y=1\Rightarrow t=\sqrt{5}-2\). Posle smene dobijamo čisto racionalan integral: \[ P=\frac{2\pi}{128}\int_{\sqrt{5}-2}^{1} \frac{t^{8}+8t^{6}+14t^{4}+8t^{2}+1}{t^{5}}\,dt =\frac{\pi}{64}\!\int_{\sqrt{5}-2}^{1}\!\Big(t^{3}+8t+14t^{-1}+8t^{-3}+t^{-5}\Big)\,dt. \] Podintegralne funkcije su elementarne, pa \[ P=\frac{\pi}{64}\left.\Big( \frac{t^{4}}{4}+4t^{2}+14\ln t-4t^{-2}-\frac{1}{4}t^{-4} \Big)\right|_{t=\sqrt{5}-2}^{t=1}. \] Pošto je \((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=1\), zgodno je koristiti \(t^{-1}=\sqrt{5}+2\), \(t^{\pm2}=9\mp4\sqrt{5}\), \(t^{\pm4}=161\mp72\sqrt{5}\). Nakon sređivanja: \[ P=\pi\left(\frac{17}{16}\sqrt{5}+\frac{7}{32}\ln(\sqrt{5}+2)\right). \]P3. Polukružnica oko ose \(x\) → sfera
Tekst zadatka
Neka je \(y=\sqrt{1-x^{2}}\), \(x\in[-1,1]\). Naći površinu tela dobijenog obrtanjem oko ose \(x\).Rešenje:
Prvi način: Za krivu \(y=f(x)\ge 0\), \(x\in[a,b]\), koja se obrće oko ose \(x\):\( P \;=\; 2\pi \displaystyle\int_{a}^{b} y(x)\,\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx. \)
- Ovde je \(y(x)=\sqrt{1-x^2}\), pa je \( y'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \).
- Izračunamo: \[ 1+\bigl(y'(x)\bigr)^2 \;=\;1+\frac{x^2}{1-x^2} \;=\;\frac{1}{1-x^2}, \qquad \sqrt{\,1+\bigl(y'(x)\bigr)^2\,} \;=\;\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \]
- Zato je podintegralna funkcija \[ y(x)\,\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2} \;=\;\sqrt{1-x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;=\;1 \quad (\text{za } x\in(-1,1)). \]
- Dobijamo \[ P \;=\; 2\pi\int_{-1}^{1} 1\,dx \;=\; 2\pi\,\left.x\right|_{-1}^{1} \;=\; 2\pi\,(1-(-1)) \;=\; 4\pi. \]
Drugi način: Gornji polukrug se može prikazati i parametarski: \(\;x(t)=\cos t,\; y(t)=\sin t,\; t\in[0,\pi].\) Tada je \(\;x'(t)=-\sin t,\; y'(t)=\cos t,\; \sqrt{(x’)^2+(y’)^2}=1.\) Formula za površinu pri obrtanju oko ose \(x\) u parametarskom obliku glasi \[ P \;=\; 2\pi\int_{t=0}^{\pi} y(t)\,\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt \;=\;2\pi\int_{0}^{\pi}\sin t\cdot 1\,dt \;=\;2\pi\,\left.(-\cos t)\right|_{0}^{\pi} \;=\;2\pi\,( -(-1) – (-1) ) \;=\;4\pi. \]
Površina traženog tela je \(4\pi\).
P4. Prava \(y=2-x\) na \([0,2]\) oko ose \(x\) (zarubljena kupa)
Tekst zadatka
Izračunati površinu omotača pri obrtanju \(y=2-x\) na \([0,2]\) oko ose \(x\).Rešenje
\(f'(x)=-1\Rightarrow \sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt{2}\). \[ P=2\pi\int_{0}^{2}(2-x)\sqrt{2}\,dx =2\pi\sqrt{2}\,\Big[\,2x-\frac{x^{2}}{2}\,\Big]_{0}^{2} =4\sqrt{2}\,\pi. \] Rezultat: \( 4\sqrt{2}\,\pi \)(Slaže se sa formulom za omotač zarubljene kupe \(S=\pi(r_1+r_2)s\).)
© TMF/Matematika 2 — Interaktivne stranice