Školska 2021/22, julski ispitni rok, I kolokvijum grupa plava

Strana 1 | Strana 2

1(a). Izračunati

\[ \displaystyle \int \frac{\sqrt{\mathrm{arctg}\, x}-2x^{2}}{1+x^{2}}\,dx \]
Prikaži rešenje \[ \int \frac{\sqrt{\mathrm{arctg}\, x}-2 x^{2}}{1+x^{2}}\,dx =\int \frac{\sqrt{\mathrm{arctg}\, x}}{1+x^{2}}\,dx -\int \frac{2 x^{2}}{1+x^{2}}\,dx. \] Za prvi deo stavimo \( t=\mathrm{arctg}\,x \Rightarrow dt=\frac{dx}{1+x^2} \): \[ \int \frac{\sqrt{\mathrm{arctg}\, x}}{1+x^{2}}\,dx = \int \sqrt{t}\,dt = \frac{2}{3}t^{3/2}. \] Za drugi deo: \[ \int \frac{2x^2}{1+x^2}\,dx = 2\int\!\!\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx = 2\big(x-\mathrm{arctg}\,x\big). \] Ukupno: \(\frac{2}{3}(\mathrm{arctg}\,x)^{3/2} – 2(x-\mathrm{arctg}\,x) + C\)

1(b). Izračunati

\[ \displaystyle \int \frac{dx}{\,10-6\sin x+8\cos x\,} \]
Prikaži rešenje Trigonometrijska smena \( t=\mathrm{tg}\,\frac{x}{2} \), \( \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\ dx=\frac{2\,dt}{1+t^2} \). \[ 10-\frac{12t}{1+t^2}+\frac{8(1-t^2)}{1+t^2} =\frac{2(t-3)^2}{1+t^2} \ \Rightarrow\ \int \frac{dx}{10-6\sin x+8\cos x} =\int \frac{dt}{(t-3)^2}. \] Uvedimo pomoćnu smenu \( z=t-3 \) (tada \(dz=dt\)): \[ \int \frac{dt}{(t-3)^2} =\int \frac{dz}{z^2} =-\frac{1}{z}+C =-\frac{1}{t-3}+C =\frac{1}{\,3-\mathrm{tg}\,\frac{x}{2}\,}+C. \]

2(a). Izračunati dužinu krive \( y(x)=\sqrt{x-x^{2}}-\arccos\sqrt{x} \) na njenom domenu \([0,1]\).

Prikaži rešenje Izvod funkcije \[ y(x)=\sqrt{x-x^2}-\arccos\sqrt{x} \] \[ \frac{d}{dx}\sqrt{x-x^2}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}},\qquad \frac{d}{dx}\big(-\arccos\sqrt{x}\big)=+\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} \] \[ \Rightarrow\quad y'(x)=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}+\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}} \] Svedemo na zajednički imenilac \(2\sqrt{x(1-x)}\): \[ y'(x)=\frac{(1-2x)\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} =\frac{(1-2x)\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}{2\sqrt{x(1-x)}} \] Posle sređivanja (spajanjem članova) dobija se kompaktan oblik: \[ y'(x)=\frac{1-x}{\sqrt{x-x^2}}. \] Dužina krive. \[ L=\int_0^1 \sqrt{\,1+\big(y'(x)\big)^2\,}\,dx =\int_0^1 \sqrt{\,1+\left(\frac{1-x}{\sqrt{x-x^2}}\right)^{\!2}}\,dx. \] Sređivanje izraza pod korenom. Pošto je \(x-x^2=x(1-x)\), \[ 1+\frac{(1-x)^2}{x-x^2} =1+\frac{1-2x+x^2}{x(1-x)} =\frac{x(1-x)+1-2x+x^2}{x(1-x)} =\frac{1-x}{x(1-x)} =\frac{1}{x}. \] Zato \[ \sqrt{\,1+\big(y'(x)\big)^2\,}=\sqrt{\frac{1}{x}}=x^{-1/2}. \] Integracija. \[ L=\int_0^1 x^{-1/2}\,dx=\Big[2\sqrt{x}\Big]_0^1=2. \] Rezultat: \(L=2\).