Nesvojstveni integrali

Nesvojstveni integral I vrste

Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, +∞) i integrabilna na svakom segmentu [a, b] ⊂ [a, +∞). Ako postoji konačna granična vrednost:

$$\lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx$$

onda se ta granična vrednost zove nesvojstveni integral prve vrste i označava sa:

\[\color{red}{\int_a^{+\infty} f(x)\,dx}\]

To znači da važi:

\[\int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\,dx \;\cdots(1)\] \[\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)\,dx \;\cdots(2)\]

Iz jednačina (1) i (2) sledi:

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \lim_{b\to +\infty}\int_{a}^{b} f(x)\,dx\]

Napomena:

Ako postoji konačan $\lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\,dx$ onda se kaže da nesvojstveni integral konvergira, u suprotnom, tj. ako ne postoji ili je jednak $\pm\infty$, onda se kaže da divergira.

Primeri nesvojstvenog integrala I vrste

Primer 1: Odrediti konvergenciju datog integrala

\[ \begin{aligned} \int_{0}^{+\infty} e^{-x}\,dx &= \lim_{b\to+\infty}\int_{0}^{b} e^{-x}\,dx \\ &= \lim_{b\to+\infty}\left(-e^{-x}\Big|_{0}^{b}\right) \\ &= \lim_{b\to+\infty}\big(-e^{-b}+1\big) = 1 \; \quad \Rightarrow \quad \text{integral konvergira.} \end{aligned} \]

Primer 2: Odrediti konvergenciju datog integrala

\[ \int_{0}^{+\infty}\sin(3x)\,dx = \int_{0}^{+\infty}\sin t \,\frac{dt}{3}, \quad \begin{Bmatrix} 3x = t \\ dx = \tfrac{dt}{3} \\ x=0 \Rightarrow t=0 \\ x\to+\infty \Rightarrow t\to+\infty \end{Bmatrix} \]
\[ = \tfrac{1}{3}\int_{0}^{+\infty}\sin t\,dt = -\tfrac{1}{3}\cos t \Big|_{0}^{+\infty} = -\tfrac{1}{3}\lim_{b\to+\infty}(\cos b - \cos 0) \]
\[ = -\tfrac{1}{3}\lim_{b\to+\infty}(\cos b - 1) \quad \Rightarrow \quad \text{integral divergira.} \]

Nesvojstveni integral II vrste

Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b), neograničena u bilo kojoj okolini tačke b i neka je integrabilna na svakom segmentu [a, b − ε] ⊂ [a, b), ε > 0. Ako postoji konačna granična vrednost:

$$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx$$

onda se ta granična vrednost zove nesvojstveni integral druge vrste.

To znači da važi:

\[\int_a^b f(x)\,dx \;=\; \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx \;\cdots(3)\] \[\int_a^b f(x)\,dx \;=\; \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx \;\cdots(4)\]

Iz jednačina (3) i (4) sledi:

\[\int_a^b f(x)\,dx = \lim\limits_{\varepsilon \to 0^+} \int_a^{c-\varepsilon} f(x)\,dx \;+\; \lim\limits_{\varepsilon \to 0^+} \int_{c+\varepsilon}^b f(x)\,dx\]

Primeri nesvojstvenog integrala II vrste

Primer 3: Odrediti konvergenciju datog integrala

\[ \int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{\varepsilon}^{4} x^{-\tfrac{1}{2}} \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \Big[ 2\sqrt{x} \Big]_{\varepsilon}^{4} \] \[ = 2 \lim_{\varepsilon \to 0^+} (\sqrt{4} - \sqrt{\varepsilon}) = 2 \cdot (2 - 0) = 4 \;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\; \text{integral konvergira} \]

Primer 4: Odrediti konvergenciju datog integrala

\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{0+\varepsilon}^{1} \frac{1}{x}\, dx \] \[ = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \ln |x|\Big|_{0+\varepsilon}^{1} = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \ln 1 - \ln(0+\varepsilon) \right) \] \[ = 0 - (-\infty) = +\infty \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Longrightarrow \text{ integral divergira } \]

Primer 5: Odrediti konvergenciju datog integrala

\[ \begin{aligned} \int_{-1}^{8}\frac{dx}{\sqrt[3]{x}} &= \int_{-1}^{0}\frac{dx}{\sqrt[3]{x}} + \int_{0}^{8}\frac{dx}{\sqrt[3]{x}} \\[6pt] &= \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{-1}^{\,0-\varepsilon} x^{-\tfrac{1}{3}}\,dx + \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\,0+\varepsilon}^{8} x^{-\tfrac{1}{3}}\,dx \\[6pt] &= \lim_{\varepsilon\to 0^+}\;\frac{x^{\,(-\tfrac{1}{3}+1)}}{-\tfrac{1}{3}+1}\,\Big|_{-1}^{\,0-\varepsilon} + \lim_{\varepsilon\to 0^+}\;\frac{x^{\,\tfrac{2}{3}}}{\tfrac{2}{3}}\,\Big|_{\,0+\varepsilon}^{8} \\[6pt] &= \tfrac{3}{2}\lim_{\varepsilon\to 0^+}\Big((0-\varepsilon)^{2/3}-(-1)^{2/3}\Big) + \tfrac{3}{2}\lim_{\varepsilon\to 0^+}\Big(8^{2/3}-(0+\varepsilon)^{2/3}\Big) \\[6pt] &= \tfrac{3}{2}\big(0-1\big)+\tfrac{3}{2}\big(4-0\big) = -\tfrac{3}{2}+6 = \tfrac{9}{2} \;\;\;\Rightarrow\;\;\; \text{integral konvergira.} \end{aligned} \]

Literatura

[1] Nesvojstveni integral – predavanja, Matematička katedra, Tehnološko-metalurški fakultet, Univerzitet u Beogradu, 2025.,
https://matematika.tmf.bg.ac.rs/wp-content/uploads/2016/02/Nesvojstveni-integrali-2.pdf

[2] Nesvojstveni integrali – predavanja, Matematička katedra, Tehnološko-metalurški fakultet, Univerzitet u Beogradu, 2025.,
https://matematika.tmf.bg.ac.rs/wp-content/uploads/2016/02/4-Nesvojstveni-integrali-beleske.pdf

[3] Nesvojstveni integral - diplomski rad, Prirodno–matematički fakultet, Univerzitet u Kragujevcu, 2011.,
https://imi.pmf.kg.ac.rs/index-old.php?option=com_docman&task=doc_view&gid=931

[4] Nesvojstveni integrali - zadaci,
https://matematiranje.in.rs/Visa%20matematika/6.Integrali/Nesvojstveni%20integrali-zadaci.pdf

[5] Boris Apsen, Riješeni zadaci iz više matematike uz drugi dio repetitorija, drugo izdanje, Tehnička knjiga, Zagreb 1958. godine,

[6] GeoGebra Calculator suite, 2025.,
https://www.geogebra.org/calculator

[7] Math DF - Integral Calculator, 2025.,
https://mathdf.com/

[8] Wolfram Alpha, 2025.,
https://www.wolframalpha.com/