Nesvojstveni integrali

Zadatak 1 - Ispitati konvergenciju i naći vrednost integrala:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2} \]

Ovo je nesvojstveni integral I vrste. Grafik ove funkcije \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \) izgleda ovako:

Zadatak 2 - Izračunati vrednost integrala:

\[ \int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} \, dx \]

Hajde prvo da pogledamo kako izgleda grafik ove funkcije,

Rešenje zadatka:

Ovo je takođe nesvojstveni integral I vrste, to znači da prvo rešavamo neodređeni integral \(\int x^{3} e^{-x^{2}} \, dx\), i to tako što uvodimo smenu \(\{x^{2}=t, \; 2x\,dx=dt, \; x\,dx=\tfrac{dt}{2}\}\).

\[ \int x^{3} e^{-x^{2}} \, dx = \int x^{2} e^{-x^{2}} \, x dx = \tfrac{1}{2} \int t e^{-t} \, dt \]

Sada uvodimo parcijalnu integraciju {u = t; du = dt; e^−t dt = dv; −e^−t d(−t) = dv; −e^−t = v}

\[ \frac{1}{2}\left( -te^{-t} + \int e^{-t} \, dt \right) = \frac{1}{2}\left( -te^{-t} - \int e^{-t} \, d(-t) \right) \] \[ = \frac{1}{2}\left( -te^{-t} - e^{-t} \right) = -\frac{1}{2}\left( e^{-t} + te^{-t} \right) \]

Sada vratimo smenu

\[ -\frac{1}{2}\left(e^{-x^{2}} + x^{2}e^{-x^{2}}\right) \]

\[ \int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x^{2}} dx = \lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a} x^{3} e^{-x^{2}} dx \] \[ = -\tfrac{1}{2} \lim_{a \to \infty} \left( e^{-x^{2}} + x^{2} e^{-x^{2}} \right)\Big|_{0}^{a} \] \[ = -\tfrac{1}{2} \lim_{a \to \infty} \left( e^{-a^{2}} + a^{2} e^{-a^{2}} - 1 - 0 \right) \] \[ = -\tfrac{1}{2} \lim_{a \to \infty} \left( 0 + a^{2} e^{-a^{2}} - 1 \right) \] \[ = -\tfrac{1}{2} \left( \lim_{a \to \infty} \tfrac{a^{2}}{e^{a^{2}}} - 1 \right) = -\tfrac{1}{2} \left( \lim_{a \to \infty} \tfrac{2a}{2ae^{a^{2}}} - 1 \right) \] \[ = -\tfrac{1}{2} \left( \lim_{a \to \infty} \tfrac{1}{e^{a^{2}}} - 1 \right) = -\tfrac{1}{2} (0 - 1) = \tfrac{1}{2} \]

Ovaj integral takođe konvergira i konačno rešenje je 1/2.

Zadatak 3 - Naći površinu ograničenu krivom \( y=\dfrac{x}{(1+x^{2})^{3}} \) i njenom asimptotom:

Funkcija je svuda definisana. Nula funkcije je u \(x=0\). Funkcija je neparna \(f(-x)=-f(x)\). To znači da nema vertikalne asimptote, a horizontalna osa je \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{(1+x^{2})^{3}}=0\), što znači da je \(x\)-osa horizontalna asimptota.

Zadatak 4 - Ispitati konvergenciju integrala:

\[ \int_{2}^{3} \frac{x\,dx}{\sqrt[4]{x^{2}-4}} \]

Zadatak 5 - Izračunati vrednost zadatog integrala:

\[ \int_{0}^{2} \frac{dx}{(x-1)^2} \]

Zadatak 6 - Ispitati konvergenciju i naći vrednost zadatog integrala:

\[ \int_{0}^{1} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx \]