Zadatak 1 – Masa krive
Posmatramo krivu preseka:
\[\;x^2+y^2+z^2+4z=0,\qquad x^2+y^2-z=4\;\]
Što vodi na kružnicu u ravni \(z=-1\):
\[\;x^2+y^2=3,\; z=-1.\]
Gustina: \(\rho(x,y,z)=x^2+y^2-10z.\)
Masa kružnice i tačke: \(m=39\pi+40.\)
Zadatak 2 – Površinski integral
Posmatramo integral
\[\;I=\iint\limits_D\ln(x^2+y^2)\,dx\,dy,\]
gde je
\[
D:\;y\le\sqrt{3}x,\;1\le x^2+y^2\le9,\;x\ge0.
\]
U polarnim koordinatama \(0\le\theta\le\pi/3,\;1\le r\le3\) i
\[
I=\int_0^{\pi/3}\int_1^3\ln(r^2)\,r\,dr\,d\theta
=\frac{\pi}{3}\Big(\frac{9}{2}\ln3-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}\Big).
\]
Zadatak 3 – Elipsoid
Oblik tela:
\[
\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}\le1,\quad x\ge0,y\ge0,z\ge0.
\]
To je \(\tfrac{1}{8}\) elipsoida sa \(a=3,b=2,c=4\). Zapremina:
\[
V=\tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{4}{3}\pi abc=4\pi.
Zadatak 4 – Ekstrem funkcije
Funkcija:
\[
f(x,y)=2\ln x+3\ln y+\ln(12-x-y),\quad x>0,y>0,x+y<12.
\]
Parcijalni izvodi i rešavanje daju ekstremum u \((4,6)\) koji je maksimum.
Zadatak 5 – Krivolinijski integral
Integral duž krive \(y=|x-1|,\;0\le x\le2\):
\[
I=\int(2y\,dx+5\,dy).
\]
Parametrizacijom i razdvajanjem na dela dobija se konačan rezultat \(I=1\).
Zadatak 5 (alternativni ggb)
Alternativna GeoGebra konstrukcija za isti zadatak (3D prikaz / dodatak).
Zadatak 5.2 – Tangentna ravan
Funkcija:
\[
f(x,y)=\sqrt{2y-3x}+y^3e^{-xy}.
\]
Parcijalni izvodi u \(M(0,2)\): \(f_x(0,2)=-\tfrac{67}{4},\; f_y(0,2)=\tfrac{25}{2}\).
Tangentna ravan: \(z=f(0,2)+f_x(0,2)(x-0)+f_y(0,2)(y-2)\).
Zadatak 5.3 – Trostruki integral
Integral:
\[
I=\iiint\limits_D (z+y-x)^3\,dz\,dy\,dx,
\]
gde \(0\le x\le1,\;x-1\le y\le0,\;0\le z\le x-y\).
Nakon računanja: \(I=-\tfrac{1}{120}\).