Računanje zapremine tela (svi načini)

Primer 1. Izračunati zapreminu sfere \(S\,:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\).

Rešenje: Sfera \(S\) nastaje rotacijom kruga \(x^{2}+y^{2}=R^{2}\) oko \(x\)-ose. Da bismo koristili prethodnu formulu potrebno je da \(y\) napišemo kao funkciju po \(x.\)

Rešavanjem po \(y\) dobijamo \[ y=\pm\sqrt{R^{2}-x^{2}},\qquad-R\leq x\leq R. \] Možemo posmatrati npr. da rotira gornji polukrug \(y=\sqrt{R^{2}-x^{2}},-R\leq x\leq R.\) Sada dobijamo \[ V=\pi\int_{-R}^{R}y(x)^{2}\,dx=\pi\int_{-R}^{R}(R^{2}-x^{2})\,dx=\pi\left[R^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-R}^{R}=\frac{4\pi R^{3}}{3}. \] Primetino da sferu \(S\) možemo dobiti i rotacijom \(x=\sqrt{R^{2}-y^{2}},-R\leq y\leq R\) oko \(y\)-ose. Račun je potpuno isti.

Primer 2. Izračunati zapreminu sfere \(S\,:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\).

Rešenje: Sfera \(S\) možemo dobiti rotacijom kruga

\[ x(t)=R\cos t,\quad y(t)=R\sin t,\qquad0 \leq t \leq2\pi \] oko \(x\)-ose (ili analogno oko \(y\)-ose). Dovoljno je da posmatramo jednu polovinu kruga i nju rotiramo. Dakle, imamo

\[ V=\pi\int_{0}^{\pi}y^{2}(t)\,|x'(t)|\,dt=\pi\int_{0}^{\pi}R^{2}\sin^{2}t\,|-R\sin t|\,dt. \]

Kako za \(t\in[0,\pi]\) važi \(\sin t\geq0\) imamo \(|-R\sin t|=R\sin t\). Dakle \[ V=\pi R^{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}t\,\sin t\,dt=\pi R^{3}\int_{0}^{\pi}(1-\cos^{2}t)\,\sin t\,dt. \] Ovaj integral rešavamo smenom \[ u=\cos t\quad\Rightarrow\quad du=-\sin t\,dt. \] Sada je \[ \int_{0}^{\pi}(1-\cos^{2}t)\,\sin t\,dt=\int_{1}^{-1}(1-u^{2})(-du)=\int_{-1}^{1}(1-u^{2})du, \] \[ \int_{-1}^{1}(1-u^{2})du=\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]\bigg|_{-1}^{1}=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}, \] pa dobijamo \[ V=\pi R^{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4\pi R^{3}}{3}. \]

Primer 3. Izračunati zapreminu sfere \(S\,:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\).

Rešenje: Sferu možemo posmatrati kao \[ T=\{(x,y,z)\:|\:\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} \leq z \leq\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}},\quad(x,y)\in D\}, \] gde je projekcija sfere na \(xy\)-ravan je krug \[ D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le R^{2}\}. \] Sada je zapremina sfere \[ V=\iint\limits_{D}\left(\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}-(-\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}})\right)dxdy=\iint\limits_{D}2\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}\,dxdy. \] Ovde sada uvodimo polarne koordinate \[ x=\rho\cos\varphi,\quad y=\rho\sin\varphi,\quad0\leq\rho\leq2\pi,\quad0\leq\varphi\leq2\pi,\quad J=\rho. \] Sada je \[ V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}2\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}\cdot\rho\,d\rho\,d\varphi=2\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{R}\rho\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}\,d\rho. \] Za integral po \(\rho\) koristimo smenu \[ u=R^{2}-\rho^{2}\quad\Rightarrow\quad du=-2\rho\,d\rho\quad\Rightarrow\quad\rho\,d\rho=-\frac{du}{2}, \] pa dobijamo \[ \int_{0}^{R}\rho\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}\,d\rho=\int_{u=R^{2}}^{u=0}-\frac{\sqrt{u}}{2}du=\frac{1}{2}\int_{0}^{R^{2}}\sqrt{u}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{0}^{R^{2}}=\frac{R^{3}}{3}. \] Kako je \[ \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi, \] dobijamo \[ V=2\cdot2\pi\cdot\frac{R^{3}}{3}=\frac{4\pi R^{3}}{3}. \]

Primer 4. Izračunati zapreminu sfere \(S\,:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\).

Rešenje: Sferu možemo parametrizovati cilindričnim koordinatama \[ x=\rho\cos\varphi,\quad y=\rho\sin\varphi,\quad z=z,\qquad J=\rho. \] Za dati \( \rho \), \(z\) se kreće između donje i gornje polusfere \[ -\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}\le z\le\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}, \] Takođe, \( \rho \) ide od 0 do \(R\), a ugao \( \varphi \) od 0 do \( 2\pi \). Dakle, dobijamo \[ V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{-\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}}\rho\,dz\,d\rho\,d\varphi. \] Dalje imamo \[ \int_{-\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}}\rho\,dz=\rho\cdot\Big(\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}-(-\sqrt{R^{2}-\rho^{2}})\Big)=2\rho\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}. \] Sada smo sveli račun na prethodni primer gde smo videli \[ \int_{0}^{R}\rho\sqrt{R^{2}-\rho^{2}}\,d\rho=\frac{R^{3}}{3},\qquad\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi, \] pa je \[ V=2\cdot\frac{R^{3}}{3}\cdot2\pi=\frac{4\pi R^{3}}{3}. \]

Primer 5. Izračunati zapreminu sfere \(S\,:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\).

Rešenje: Sada sferu parametrizujemo sfernim koordinatama \[ x=\rho\sin\theta\cos\varphi,\quad y=\rho\sin\theta\sin\varphi,\quad z=\rho\cos\theta,\quad J=\rho^{2}\sin\theta. \] Tada su granice \[ 0\le\rho\le R,\quad0\le\theta\le\pi,\quad0\le\varphi\le2\pi, \] pa dobijamo \[ V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}\rho^{2}\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi. \] Kako je \[ \int_{0}^{R}\rho^{2}\,d\rho=\frac{\rho^{3}}{3}\Big|_{0}^{R}=\frac{R^{3}}{3}, \] dobijamo \[ V=\frac{R^{3}}{3}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta. \] Dalje \[ \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi, \] \[ \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=-\cos\theta\bigg|_{0}^{\pi}=-\cos\pi+\cos0=2, \] pa je \[ V=\frac{R^{3}}{3}\cdot2\cdot2\pi=\frac{4\pi R^{3}}{3}. \]