Posmatramo površi koje su date sa
\[
S:\quad z=f(x,y),\qquad(x,y)\in D\subset\mathbb{R}^{2}.
\]
Ako je gustina površi data funkcijom \(\rho(x,y,z)\), masu površi
\(S\) gustine \(\rho\) računamo formulom
\[
m=\iint\limits_{S}\rho(x,y,z)\,dS.
\]
U ovom slučaju možemo preći na dvostruki integral pa dobijamo
\[
m=\iint\limits_{S}\rho(x,y,z)\,dS=\iint\limits_{D}\rho\big(x,y,f(x,y)\big)\,\sqrt{1+f’_{x}(x,y)^{2}+f’_{y}(x,y)^{2}}\,dx\,dy.
\]
Primer 1
Izračunati masu dela površi ravni \(x+2y+3z=6\) koji leži
u prvom oktantu, ako je gustina \(\rho(x,y,z)=6x+4y+3z.\)
Rešenje:
Ravan se može napisati u obliku \(z=f(x,y)\). Iz jednačine dobijamo
\[
3z = 6 - x - 2y \quad\Longrightarrow\quad z = f(x,y) = 2 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}y.
\]
Kako su
\[
f'_{x}=-\frac{1}{3},\qquad f'_{y}=-\frac{2}{3},
\]
imamo
\[
dS = \sqrt{1 + {f'_x}^{2} + {f'_y}^{2}}\,dx\,dy
= \sqrt{1 + \frac{1}{9} + \frac{4}{9}}\,dx\,dy
= \sqrt{\frac{14}{9}}\,dx\,dy
= \frac{\sqrt{14}}{3}\,dx\,dy.
\]
Naći masu dela konusa \(z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad 0 \le z \le 3\),
ako je gustina \(\rho(x,y,z) = z\).
Rešenje:
Površ je data sa \(z = f(x,y) = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\). Kako je
\[
f'_{x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \qquad f'_{y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
\]
dobijamo
\[
dS = \sqrt{1 + {f'_x}^{2} + {f'_y}^{2}}\, dx\, dy = \sqrt{2}\, dx\, dy.
\]
Sada je
\[
m = \iint\limits_{S} \rho \, dS = \iint\limits_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot \sqrt{2}\, dx\, dy.
\]
Projekcija \(D\) na ravan \(xy\) je
\[
D = \{(x,y) : 0 \le x^{2}+y^{2} \le 9 \},
\]
pa u polarnim koordinatama imamo
\[
x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad 0 \le r \le 3, \quad 0 \le \varphi \le 2\pi.
\]
Sada je
\[
m = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} r \cdot r \, dr\, d\varphi = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} r^{2} \, dr\, d\varphi.
\]
Kako je
\[
\int_{0}^{3} r^{2} \, dr = \frac{r^{3}}{3} \Big|_{0}^{3} = \frac{27}{3} = 9,
\]
dobijamo
\[
m = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} 9 \, d\varphi = 9 \sqrt{2} \cdot 2\pi = 18 \pi \sqrt{2}.
\]
Primer 3
Naći masu polusfere
\[
S: z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}
\]
ako je gustina \(\rho(x,y,z) = z\).
Rešenje:
Površ je \(z = f(x,y) = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}\). Kako je
\[
f'_{x} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}}, \qquad f'_{y} = -\frac{y}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}}
\]
Gustina je
\[
\rho(x,y,z) = z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}.
\]
Sada je
\[
m = \iint\limits_{S} \rho \, dS = \iint\limits_{D} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}}\, dx\, dy = \iint\limits_{D} 1 \, dx\, dy,
\]
gde je projekcija na \(xy\) ravan
\[
D = \{ (x,y) : 0 \le x^{2} + y^{2} \le 1 \}.
\]
Sada prelazimo na polarne koordinate:
\[
x = r \cos \varphi, \, y = r \sin \varphi, \quad dx\, dy = r\, dr\, d\varphi, \quad 0 \le r \le 1, \, 0 \le \varphi \le 2\pi,
\]
i dobijamo
\[
m = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 1 \cdot r \, dr\, d\varphi = \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{1} r \, dr = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi.
\]
Primer 4
Naći masu dela paraboloida \(z = x^{2} + y^{2}\) koji se nalazi iznad
\[
D: x^{2} + y^{2} \le 1,
\]
ako je gustina konstantna \(\rho \equiv 1\).
Rešenje:
Površ je data u obliku \(z = f(x,y) = x^{2} + y^{2}\). Kako je
\[
f'_{x} = 2x, \qquad f'_{y} = 2y,
\]
imamo
\[
dS = \sqrt{1 + {f'_x}^{2} + {f'_y}^{2}}\, dx\, dy = \sqrt{1 + 4x^{2} + 4y^{2}}\, dx\, dy.
\]
Sada je masa
\[
m = \iint\limits_{S} 1 \, dS = \iint\limits_{D} \sqrt{1 + 4(x^{2} + y^{2})}\, dx\, dy.
\]
Prelazimo u polarne koordinate:
\[
x = r \cos \varphi, \, y = r \sin \varphi, \quad dx\, dy = r\, dr\, d\varphi, \quad 0 \le r \le 1, \, 0 \le \varphi \le 2\pi,
\]
pa je
\[
m = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4 r^{2}} \; r \, dr\, d\varphi = 2\pi \int_{0}^{1} r \sqrt{1 + 4 r^{2}} \, dr.
\]
Ovaj integral rešavamo smenom \(u = 1 + 4 r^{2}, \quad du = 8 r \, dr \quad \Rightarrow \quad r\, dr = \frac{du}{8}\),
i dobijamo
\[
\int_{0}^{1} r \sqrt{1 + 4 r^{2}} \, dr = \frac{1}{8} \int_{1}^{5} u^{1/2} \, du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \left(u^{3/2}\right) \Big|_{1}^{5} = \frac{1}{12} \left( 5^{3/2} - 1 \right).
\]
Dakle
\[
m = 2\pi \cdot \frac{1}{12} \left(5^{3/2} - 1 \right) = \frac{\pi}{6} \left(5\sqrt{5} - 1\right).
\]
