Krivolinijski integrali

1. Definicija

• • Krivolinijski integrali su integrali čije se područje integracije ne sastoji od pravougaonog segmenta (kao kod običnih integrala), već od krive definisane u ravni ili prostoru. Iako se mogu definisati krivolinijski integrali prve i druge vrste, krivolinijski integrali druge vrste imaju primjenu u fizici, posebno pri izračunavanju rada koji vrši neka sila duž date krive.
    1. Krivolinijski integral prve vrste

• • 1. • Krivolinijski integral prve vrste, takođe poznat kao integral po dužini, izračunava vrednost skalarnog polja duž date krive. To je suštinski proširenje koncepata za izračunavanje dužine luka, ali umesto toga uzima u obzir skalarnu vrednost funkcije na svakoj tački krive, integrišući je duž njene dužine.

• • 1. Krivolinijski integral druge vrste

• • 1. • Ovaj tip integrala je vektorski integral, koji se koristi za integrisanje skalarnog polja duž krive, kao što je rad vektorskog polja (na primer, sile) duž date krive. U tom slučaju, krivolinijski integral drugog reda predstavlja ukupnu količinu “rada” koju vektorsko polje vrši po celoj krivoj.

2. Formule

• Krivolinijski integral se izračunava kada se kriva \( C \) (ili \( L \)) parametrizuje kao funkcija
  \(\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}\), i onda se integral svede na definisani integral po parametru \(t\), koristeći formule poput:

\[
\int_C f(x, y)\,dx + g(x, y)\,dy =
\int f(x(t), y(t))\,x'(t)\,dt + g(x(t), y(t))\,y'(t)\,dt
\]

• Za krivolinijski integral druge vrste, kada je zadata vektorska funkcija
  \(\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j}\), primenjuje se formula:

\[
\int_C P\,dx + Q\,dy =
\int \big(P(x(t), y(t))\,x'(t) + Q(x(t), y(t))\,y'(t)\big)\,dt,
\]

• gde je \(\mathbf{r}(t)\) parametrizacija krive \(C\).

1. Krivolinijski integral prve vrste

• Ovaj integral računa se po dužini krive.

• Formula:
  Za krivu \(C\) u ravni: \(\int_C f(x, y)\,ds\), gde je \(ds\) element dužine krive.
  Za krivu \(C\) u prostoru: \(\int_C f(x, y, z)\,ds\).

2. Krivolinijski integral druge vrste

• Ovo su integrali vektorskog polja duž krive.U ravni (za funkciju \(\mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\mathbf{i} + Q(x,y)\mathbf{j}\)):

\[
\int_C P(x, y)\,dx + Q(x, y)\,dy
\]

• U prostoru (za funkciju \(\mathbf{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\mathbf{i} + Q(x,y,z)\mathbf{j} + R(x,y,z)\mathbf{k}\)):

\[
\int_C P(x, y, z)\,dx + Q(x, y, z)\,dy + R(x, y, z)\,dz
\]

3. Kako izračunati

• Da biste izračunali krivolinijski integral, parametrizujte krivu \(C\) kao
  \(\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}\), gde \(t\) varira u intervalu \([a, b]\).Prvi korak: Izračunajte izvod
  \(\mathbf{r}'(t) = x'(t)\mathbf{i} + y'(t)\mathbf{j} + z'(t)\mathbf{k}\).

  Drugi korak: Zamenite \(x(t), y(t), z(t)\) u izraz za funkciju koju integrišete.

  Treći korak: Izračunajte definisani integral od \(a\) do \(b\):

\[
\int_C f(x, y)\,dx + g(x, y)\,dy
= \int_a^b \big(f(x(t), y(t))x'(t) + g(x(t), y(t))y'(t)\big)\,dt
\]

Dvojni integral

1. Definicija i koncept

• Dvojni integral funkcije dve promenljive \(f(x,y)\) nad nekom dvodimenzionalnom oblašću \(D\) u ravni
  (obično pravougaonik ili neka druga oblast) predstavlja generalizaciju jednostrukog integrala.
  Intuitivno, može se zamisliti kao zbir vrednosti funkcije \(f(x,y)\) na malim elementima površine \(dA\)
  koji pokrivaju oblast \(D\), pri čemu se veličina tih elemenata teži nuli.

2. Fubinijev teorem (Iterirani integrali)

• Ključni teorem za praktično izračunavanje dvojnih integrala je Fubinijev teorem,
  koji kaže da se dvojni integral nad pravougaonom oblasti može izračunati kao iterirani integral,
  tj. kao jedan jednostruki integral drugog jednostrukog integrala.

Ako je oblast \(D = [a,b]\times[c,d]\) i \(f(x,y)\) je neprekidna funkcija na \(D\), onda je:

\[
\iint_{D} f(x,y)\,dA =
\int_{a}^{b} \left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy \right) dx
= \int_{c}^{d} \left(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx \right) dy
\]

Napomena: Redosled integracije (po \(y\) pa po \(x\), ili obrnuto) ne menja rezultat, ali može značajno da utiče na složenost računanja.

3. Svojstva dvojnih integrala

• Linearnost:
  \[
  \iint_{D} \big( a f(x,y) + b g(x,y) \big)\, dA
  = a \iint_{D} f(x,y)\, dA + b \iint_{D} g(x,y)\, dA
  \]
• Aditivnost po oblasti: Ako je \(D = D_1 \cup D_2\), gde su \(D_1\) i \(D_2\) disjunktne oblasti (ili se dodiruju po skupu mere nula), tada:
  \[
  \iint_{D} f(x,y)\, dA
  = \iint_{D_1} f(x,y)\, dA + \iint_{D_2} f(x,y)\, dA
  \]

4. Primene dvojnog integrala

1. 1. Površina oblasti

Ako je \( f(x,y) = 1 \), tada dvojni integral nad oblašću \(D\) daje površinu te oblasti:

\[
A = \iint_{D} 1 \, dA
\]

1. 1. Zapremina tela

Ako je \( f(x,y) > 0 \), dvojni integral funkcije \( f(x,y) \) nad oblašću \(D\) daje zapreminu tela
koje je ograničeno površinom \( z = f(x,y) \) odozgo i ravni \( z = 0 \) (\(xy\)-ravan) odozdo,
sa bočnim stranicama definisanim oblašću \(D\):

\[
V = \iint_{D} f(x,y)\, dA
\]

1. 1. Centar mase

Dvojni integrali se koriste za izračunavanje koordinata centra mase tela, momenta inercije i drugih fizičkih veličina.

Ako telo ima gustinu \( \rho(x,y) \), ukupna masa je:
\[
M = \iint_{D} \rho(x,y)\, dA
\]

Koordinate centra mase su:
\[
\bar{x} = \frac{1}{M} \iint_{D} x\,\rho(x,y)\, dA,
\quad
\bar{y} = \frac{1}{M} \iint_{D} y\,\rho(x,y)\, dA
\]

Trojni integrali

1. Teorija trojnih integrala

• Trojni integral nad trodimenzionalnim regionom \(E\) za funkciju \(f(x,y,z)\) je definisan kao:

\[
\iiint_{E} f(x,y,z)\, dV
\]

• Gde:
  – \(f(x,y,z)\) je funkcija tri promenljive,
  – \(E\) je trodimenzionalni region integracije,
  – \(dV\) je infinitezimalni element zapremine (npr. \(dx\,dy\,dz\), \(dy\,dx\,dz\), itd.).

2. Osnovni koncepti

• Podela regiona: Region \(E\) se deli na mali broj podregiona \(\Delta V_k\).
• Rimanova suma: Računa se suma oblika
  \(\sum_{k} f(x_k^*, y_k^*, z_k^*) \Delta V_k\).
• Granična vrednost: Trojni integral je granična vrednost ovih suma kada veličina podregiona teži nuli.

3. Izračunavanje trojnog integrala

• Trojni integral se najčešće izračunava pomoću iteriranih integrala:

\[
\iiint_{E} f(x,y,z)\, dV
= \int_{a}^{b} \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}
f(x,y,z)\, dz\, dy\, dx
\]

• Granice \(h_1(x,y)\) i \(h_2(x,y)\) zavise od \(x\) i \(y\).
  Prvo se rešava unutrašnji integral (po \(z\)), zatim srednji (po \(y\)), pa spoljašnji (po \(x\)).

4. Primene

• Zapremina: Ako je \(f(x,y,z)=1\), trojni integral daje zapreminu regiona \(E\):
  \(\,V = \iiint_{E} 1\, dV\).
• Masa: Ako je \(f(x,y,z) = \rho(x,y,z)\) gustina tela, tada:
  \(\,M = \iiint_{E} \rho(x,y,z)\, dV\).
• Centar mase:
  \[
  \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_{E} x \rho(x,y,z)\, dV, \quad
  \bar{y} = \frac{1}{M} \iiint_{E} y \rho(x,y,z)\, dV, \quad
  \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_{E} z \rho(x,y,z)\, dV
  \]
• Moment inercije: Izračunavanje inercijskih momenata tela.
• Integracija po zapremini: Npr. u fizici i hemiji za opis procesa u zapremini.

5. Cilindrične i sferne koordinate

• Za regione sa složenom geometrijom, korišćenje cilindričnih ili sfernih koordinata
  može značajno pojednostaviti računanje trojnih integrala, umesto korišćenja kartezijanskih koordinata.

Povrsinski integral

Površinski integral prve vrste (skalarni)

• Površinski integral prve vrste, ili skalarni površinski integral, računa integral skalarnog polja
  (funkcije koja svakoj tački površine dodeljuje broj) po datoj površi.
  On je površinski ekvivalent krivolinijskog integrala prve vrste, gde se «dužina» krive
  zamenjuje sa «površinom» površi, a funkcija po dužini sa funkcijom po površini.

1. Kako se računa

1. Parametrizacija površi:
   Površ \(S\) se parametrizuje pomoću dva nezavisna parametra \((u,v)\):
   \[
   \mathbf{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), \quad (u,v)\in D
   \]
2. Normalni vektor:
   Izračunava se vektorski proizvod parcijalnih izvoda:
   \[
   \mathbf{N}(u,v) =
   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times
   \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}
   \]
3. Element površine:
   Njegova norma daje element površine:
   \[
   dS = \|\mathbf{N}(u,v)\| \, du\,dv
   \]
4. Definisanje integrala:
   Površinski integral prve vrste funkcije \(f(x,y,z)\) po površi \(S\) glasi:
   \[
   \iint_{S} f(x,y,z)\, dS =
   \iint_{D} f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \, \|\mathbf{N}(u,v)\| \, du\,dv
   \]

2. Primeri primene

• Masa: računanje mase tanke opne čija gustina varira po površini.
• Toplotni tok: određivanje količine toplote koja prolazi kroz površinu.
• Potencijalna energija: izračunavanje ukupne potencijalne energije nekog polja po površini.

Površinski integral druge vrste (vektorski)

• Površinski integral druge vrste računa tok vektorskog polja kroz površinu \(S\).
  Ako je dato vektorsko polje
  \(\mathbf{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\mathbf{i} + Q(x,y,z)\mathbf{j} + R(x,y,z)\mathbf{k}\),
  onda je površinski integral definisan kao:

\[
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
= \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS
\]

• gde je \(\mathbf{n}\) jedinični normalni vektor na površ \(S\), a \(dS\) element površine.

1. Kako se računa

1. 1. Parametrizacija površi:
      Površ \(S\) se parametrizuje sa dva parametra \((u,v)\):
      \[
      \mathbf{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), \quad (u,v)\in D
      \]
   2. Normalni vektor:
      Računa se parcijalnim izvodima:
      \[
      \mathbf{N}(u,v) =
      \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times
      \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}
      \]
      Ovaj vektor pokazuje orijentaciju površine.

1. Diferencijal površine:
   Element površine je:
   \[
   d\mathbf{S} = \mathbf{N}(u,v)\,du\,dv
   \]
2. Definicija integrala:
   Površinski integral druge vrste je:
   \[
   \iint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =
   \iint_{D} \mathbf{F}(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \cdot
   \mathbf{N}(u,v) \, du\,dv
   \]

2. Praktične primene

• Tok fluida: računanje ukupne količine fluida koja prolazi kroz površinu.
• Elektromagnetizam: tok električnog ili magnetnog polja kroz površinu.
• Gaussova teorema: veza između površinskog integrala i zapreminskog integrala divergencije polja.