Zadatak 5a.
Odrediti integral: \(
I = \int \frac{(2x – \sqrt{x})(1 – 3\sqrt{x})}{x^2 \sqrt{x}} \, dx
\).
Prvo ćemo izmnožiti gornji deo razlomka, svaki sa svakim:
\[
= 2x(1) – 2x(3\sqrt{x}) – \sqrt{x}(1) + \sqrt{x}(3\sqrt{x})
\]
\[
= 2x – 6x\sqrt{x} – \sqrt{x} + 3x
\]
\[
= (2x + 3x) – (6x\sqrt{x}) – \sqrt{x}
\]
\[
= 5x – 6x\sqrt{x} – \sqrt{x}
\]
Sada vraćamo u originalni integral:
\[
I = \int \frac{5x – 6x\sqrt{x} – \sqrt{x}}{x^2 \sqrt{x}} \, dx
\]
Sada ćemo integral razložiti na jednostavnije integrale:
\[
I = \int \frac{5x}{x^2 \sqrt{x}} \, dx – \int \frac{6x\sqrt{x}}{x^2 \sqrt{x}} \, dx – \int \frac{\sqrt{x}}{x^2 \sqrt{x}} \, dx
\]
\[
I = \int \frac{5}{x^{3/2}} \, dx – \int \frac{6}{x} \, dx – \int \frac{1}{x^2} \, dx
\]
Svaki od ovih integrala rešavamo zasebno.
\[
\int \frac{5}{x^{3/2}} \, dx = 5 \cdot \int x^{-3/2} \, dx = 5 \cdot \frac{-2}{\sqrt{x}} = \frac{-10}{\sqrt{x}}
\]
\[
\int \frac{6}{x} \, dx = 6 \cdot \ln |x|
\]
\[
\int \frac{1}{x^2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}
\]
Konačan rezultat:
\[
I = \frac{-10}{\sqrt{x}} – 6 \ln |x| + \frac{1}{x} + C
\]
Zadatak 5b.
Izračunati integral: \( I = \int_{7}^{8} \frac{dx}{\sqrt{14x – x^2 – 48}} \).
Prvo ćemo pojednostaviti izraz pod korenom kako bismo dobili kvadrat binoma:
\[
14x – x^2 – 48 = -\left(x^2 – 14x + 48\right)
\]
Dalje pojednostavljamo kvadratni izraz:
\[
-\left(x^2 – 14x + 49 – 49 + 48\right) = -\left((x – 7)^2 – 1\right) = 1 – (x – 7)^2
\]
Sada integral postaje:
\[
I = \int_7^8 \frac{1}{\sqrt{1 – (x – 7)^2}} \, dx
\]
Uvodimo smenu:
\[
x – 7 = u \quad \Rightarrow \quad dx = du
\]
Da ne bismo vraćali smenu i pravili dodatni posao, promenićemo granice:
– Za \( x = 7 \), \( u = 0 \),
– Za \( x = 8 \), \( u = 1 \).
Sada naš integral postaje:
\[
I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 – u^2}} \, du
\]
\[
I = \left.\arcsin(u)\right|_0^1
\]
\[
I = \arcsin(1) – \arcsin(0) = \frac{\pi}{2}
\]
Dakle, konačan rezultat je:
\[
I = \frac{\pi}{2}
\]
Zadatak 5c.
Primenom određenog integrala izračunati obim kružnice definisane jednačinom:
\(
x^2 + y^2 = 9.
\)
Ovo je kružnica sa poluprečnikom r=3 i centrom u tački \( (0,0) \).
Parametarska jednačina kružnice je:
\[
\begin{aligned}
x(t) &= 3\cos(t), \quad t \in [0, 2\pi], \\
y(t) &= 3\sin(t)
\end{aligned}
\]
Računamo izvode parametara:
\[
\begin{aligned}
x'(t) &= -3\sin(t), \\
y'(t) &= 3\cos(t)
\end{aligned}
\]
Element luka je dat izrazom:
\[
ds = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt
\]
Zamenjujemo izraze za \( x'(t) \) i \( y'(t) \):
\[
ds = \sqrt{9\sin^2(t) + 9\cos^2(t)} \, dt
\]
Koristeći identitet \( \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \), dobijamo:
\[
ds = \sqrt{9} \, dt = 3 \, dt
\]
Obim kružnice je dužina celog luka, što je odredjeno integralom:
\[
\text{Obim} = \int_0^{2\pi} ds = \int_0^{2\pi} 3 \, dt = 3 \cdot 2\pi = 6\pi
\]
Dakle, obim kružnice je:
\[
\boxed{6\pi}
\]
Povratak na prvu stranu
