Primena dvojnog integrala na izračunavanje površine površi i uopštena smena u,v

Primena dvojnog integrala na izračunavanje površine površi i opšta smena

 

Definicija dvojnog integrala

Neka je \(D\) merljiva obast u ravni \(Oxy\), na kojoj je definisana funkcija \(z = f(x, y)\). Podelimo oblast \(D\) na \(n\) podoblasti \(D_i\), \(i = 1, \dots, n\), čije ćemo površine označiti sa \(\Delta S_i\). U svakoj podoblasti \(D_i\) izaberemo tačku \(\xi_i(x_i, y_i)\) i formirajmo integralnu sumu

\[ \sigma = \sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i)\,\Delta S_i. \]

Označimo sa \(d\) najveći od dijametara oblasti \(D_i\). Tada ćemo, pod činjenicom da \(d \to 0\), smatrati da se oblast \(D\) „usitnjava“ na podoblasti \(D_i\). Očigledno važi

\[ d \to 0 \quad\Rightarrow\quad n \to \infty. \]

Definicija: Ukoliko postoji konačna granična vrednost integralnih suma \(\sigma\), kada \(d \to 0\), koja postoji nezavisno od podele oblasti \(D\) i izbora tačaka \(\xi_i\), onda se ta granična vrednost naziva dvojni integral funkcije \(f(x, y)\) po oblasti \(D\) i označava se sa

\[ \iint\limits_{D} f(x, y)\,dx\,dy \quad\text{ili}\quad \iint\limits_{D} f(x, y)\,dS. \]

Kao i kod određenog integrala, za funkciju \(f(x,y)\) kažemo da je podintegralna funkcija, a za oblast \(D\) da je oblast integracije.

Geometrijska interpretacija

Iz definicije direktno sledi geometrijska interpretacija dvojnog integrala. Naime, svaki sabirak u integralnoj sumi predstavlja zapreminu tela visine \(f(\xi_i)\) čije su osnove odgovarajući delovi \(\Delta S_i\). Prelaskom na graničnu vrednost imamo sledeće:

\[ \text{Ako je } f(x, y) \ge 0, \text{ tada } \iint\limits_D f(x, y)\,dx\,dy \]

predstavlja zapreminu krivolinijskog cilindra, ograničenog odozgo sa površinom \(z = f(x, y)\), odozdo sa oblastju \(D\) u ravni, a sa strane sa cilindričnom površinom nastalom rotacijom linija paralelnih osi \(Oz\) duž granica oblasti \(D\).

Kao kod određenih integrala, uvode se gornja i donja Darbuove sume preko kojih se dokazuje da su sve funkcije koje su neprekidne na oblasti \(D\) i integrabilne na njoj, takođe integrabilne.

Izračunavanje površine površi


Ako je u prostoru data površi funkcijom \[ z = f(x,y) \] iznad oblasti \(D\) u ravni \(Oxy\).

Tada se površina te površi računa pomoću formule:

\[ P = \iint\limits_D \sqrt{\,1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\, dx\,dy \]

Ova formula proizilazi iz elementa površine u prostoru:

\[ dP = \sqrt{\,1 + \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\, dx\,dy \]

Primer:

Izračunati površinu P dela sfere

\[ x^2+y^2+z^2=4,\quad z\geq 0, \]

ograničenog cilindrom

\[ x^2+y^2-2x\leq 0. \]

Smena promenljivih kod dvojnog integrala


Računanje dvojnog integrala često je olakšano uvođenjem novih promenljivih. Pretpostavimo da promenljive \(x\) i \(y\) možemo izraziti preko \(u\) i \(v\):

\[x = x(u,v), \quad y = y(u,v).\]

Tada važi formula:

\[ \iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint\limits_G f\bigl(x(u,v), y(u,v)\bigr)\, \left| J(u,v) \right| \,du\,dv, \]

gde je Jakobijan

\[ J(u,v) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}. \]

Primer 1:

Izračunati

\[ I=\iint\limits_{D}\frac{(x+3y)^2}{(2x+y)^3}\,dx\,dy, \]

gde je oblast \(D\) ograničena pravama

\[ 2x+y=4,\quad 2x+y=2,\quad x+3y=2,\quad x+3y=1. \]

Primer 2:

Neka je paralelogram \(D\) ograničen pravama:

\[x+y=1,\; x+y=3,\; x-2y=0,\; x-2y=2.\]

Odrediti njegovu površinu korišćenjem smene.



Polarne koordinate

Važan primer smene promenljivih su polarne koordinate:

\[x=\rho\cos\varphi,\; y=\rho\sin\varphi,\]

sa \(\rho\ge 0, \; 0\le\varphi<2\pi\). Jakobijan je \(J(\rho,\varphi)=\rho\).

\[ \iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint\limits_G f(\rho\cos\varphi, \rho\sin\varphi)\,\rho\,d\rho\,d\varphi. \]

Primer

Izračunati

\[ \iint\limits_{D}\sin\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dx\,dy, \]

gde je \(D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4,\; x\le 0,\; y\ge 0\},\; r=2.\)

Zadaci