Teorijski uvod
Ako \(D\) pravougaona oblast takva da je \(a\le x\le b\) i \(y_1(x)\le y\le y_2(x)\), tada \[ \iint\limits_D z(x,y)\,dx\,dy=\int_{a}^{b}\!\left(\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} z(x,y)\,dy\right)\,dx. \] Ako je \(D\) zadata sa \(c\le y\le d\) i \(x_1(y)\le x\le x_2(y)\), onda \[ \iint\limits_D z(x,y)\,dx\,dy=\int_{c}^{d}\!\left(\int_{x_1(y)}^{x_2(y)} z(x,y)\,dx\right)\,dy. \]
Polarne koordinate:
\[ x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\quad J=r. \]
Ukoliko je \(\alpha\le \varphi\le \beta\), a \(r_1(\varphi)\le r\le r_2(\varphi)\):
\[ \iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy =\int_{\alpha}^{\beta}\!\!\int_{r_1(\varphi)}^{r_2(\varphi)} f(r\cos\varphi,\,r\sin\varphi)\; r\,dr\,d\varphi. \]
Za \(x=x(u,v),\, y=y(u,v)\) i Jakobijan \(J=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\ne 0\) važi:
\[ \iint_D z(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D’} z\!\big(x(u,v),y(u,v)\big)\,|J|\,du\,dv. \] Eliptične koordinate: \(x=a r\cos\varphi,\; y=b r\sin\varphi,\; J=ab\,r\).Prevodjenje u polarne koordinate-primeri
(a) Krug \(x^2+y^2\le a^2\). Pošto je \(r^2=x^2+y^2\), dobijamo: \[ 0\le r\le a,\qquad 0\le \varphi\le 2\pi. \] (b) Gornji polukrug \(x^2+y^2\le a^2,\ y\ge0\). Za gornji polukrug važi \(y\ge0\iff \sin\varphi\ge0\Rightarrow 0\le\varphi\le\pi\), pa: \[ 0\le r\le a,\qquad 0\le \varphi\le \pi. \] (c) Kružni isečak između \(\varphi=\alpha\) i \(\varphi=\beta\) unutar kruga poluprečnika \(a\): \[ 0\le r\le a,\qquad \alpha\le \varphi\le \beta. \] (d) Prsten između krugova \(r=r_1\) i \(r=r_2\) (sa \(0\le r_1 < r_2\)): \[ r_1\le r\le r_2,\qquad 0\le \varphi\le 2\pi. \] U opštem slučaju, ugao \(\varphi\) je najčešće ograničen sa \(\alpha\le\varphi\le\beta\), dok \(r\) zavisi od ugla: \[ r_1(\varphi)\le r\le r_2(\varphi),\qquad \alpha\le \varphi\le \beta. \]Interaktivni prikaz ilustruje zadavanje oblasti u polarnim koordinatama za krug \(x^2+y^2=2ax\), tj. \(r=2a\cos\varphi\) uz \(-\pi/2\le\varphi\le\pi/2\) i \(0\le r\le 2a\cos\varphi\). Za sektor \([\alpha,\beta]\) površina je \(P=a^2\big[(\beta-\alpha)+(\sin 2\beta-\sin 2\alpha)/2\big]\), a za ceo krug \(P=\pi a^2\).
Primer 1. Uvesti polarne koordinate za krug \(x^2+y^2=2x\)
Rešenje:
Dati krug se može zapisati u formi \((x-1)^2+y^2=1\), pri čemu vidimo da mu je centar u \(C(1,0)\), a poluprečnik \(1\). Prelaskom na polarne koordinate: \(x=r\cos\varphi,\ y=r\sin\varphi\). Jednačina kruga postaje \(r^2=2r\cos\varphi \Rightarrow r=2\cos\varphi\). Da bi oblast bila unutrašnjost kruga, uzimamo
\[ 0\le r\le 2\cos\varphi,\qquad -\frac{\pi}{2}\le\varphi\le \frac{\pi}{2}, \]jer je u tom opsegu \(\cos\varphi\ge 0\) (inače bi gornja granica bila negativna).
Varijacije po potrebi:- Samo iznad ose \(x\): \(0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}\), \(0\le r\le 2\cos\varphi\).
- Između uglova \(\varphi=\alpha\) i \(\varphi=\beta\subset\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\): \(0\le r\le 2\cos\varphi,\ \alpha\le\varphi\le\beta\).
Primer 2. \(\displaystyle \iint\limits_{x^2+y^2\le a^2} (x^2+y^2)\,dx\,dy\)
Rešenje:
U polarnim koordinatama je \(x^2+y^2=r^2\) i \(dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\). Dakle
\[ \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r^2\cdot r\,dr\,d\varphi = \int_{0}^{2\pi}\left(\frac{r^4}{4}\right)\Big|_{0}^{a}\,d\varphi = \frac{a^4}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi a^4}{2}. \]Primer 3. Površina kruga preko dvojnog integrala
Rešenje:
\(P=\iint_D dx\,dy\). U polarnim koordinatama je \(dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\), pa
\[ P=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r\,dr\,d\varphi = \left(\frac{r^2}{2}\right)\Big|_{0}^{a}\cdot 2\pi = \pi a^2. \]