Dvojni integrali – Izračunavanje
Definicija i geometrijska interpretacija dvojnih integrala
Posmatrajmo zatvorenu liniju nepravilnog oblika G. Unutar oblasti G nalazi se oblast P ograničena mnogougaonom linijom upisanom u figuru G, a oko G je oblast Q ograničena mnogougaonom linijom opisanom oko G.
Površina oblasti ograničenih mnogougaonim linijama upisanim u oblast G je supremum, a infimum je onda površina figure ograničene mnogougaonim linijama opisanim oko G. Ukoliko važi da je supremum jednak infimumu i samoj površini figure G, onda je površina oblasti G kvadrabilna površina.
Definicija
Podelimo figuru \( G \) na \( n \) disjkuntnih elementarnih figura \( G_i , i=1,2,3…,n \). U svakoj podoblasti \( G_i \) izaberemo tačku \( M_i(x_i,y_i) \in G_i \). kako su \( G_i \) elementarne figure, njihova površina se lako računa i neka je ona \( P(G_i)=\Delta S_i \). Zapremina ovog elementarnog tela je \( P(G_i)f(M_i)=\Delta S_1 f(x_1 ,y_1) \). Formiramo integralnu sumu:
\[ G_n= \sum_{i}^{n} f(x_i,y_i)\Delta S_i \]Definicja: Ukoliko postoji konačna granična vrednost integralne sume \( G_n \) kada \( d \) teži nuli koja ne zavisi od podele oblasti G, niti od izbora tačaka \( M_i \), onda se ta granična vrednost naziva dvostruki integral funkcije \( f(x,y) \) na oblasti G. Oznaka:
\[ \iint\limits_S f(x,y)dxdy \]Izračunavanje
Slučaj 1
\( D=\{{(x,y)|a \leq \leq b, y_1(x) \leq y \leq y_2(x)}\} \)
\[ \iint\limits_D f(x,y)dxdy = \int_{a}^{b} [\int_{y_1 (x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy] \,dx=\int_{a}^{b}dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)dy \]Slučaj 2
\( D=\{{(x,y)|c \leq y \leq d, x_1(y) \leq x \leq x_2(y)}\} \)
\[ \iint\limits_D f(x,y)dxdy = \int_{c}^{d} [\int_{x_1 (y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx] \,dy=\int_{c}^{d}dy \int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx \]