Tema25

Leave a Comment / By /
Projekat M2 — Kolokvijum (grupa 2, 12.09.2018) — Interaktivno

Projekat iz Matematike 2 — Interaktivna rešenja

1) Površina dela cilindra \(x^2+y^2=4x\) (sa \(z=0\), \(x=2\), \(z=4+x^2+y^2\), bez \(z\)-ose)

Korak 1 — Preoblikovanje i izbor polovine

\[ x^2+y^2=4x \;\Longleftrightarrow\; (x-2)^2+y^2=2^2 \]

Cilindar je kružni (osa \(\parallel z\)-osi), centar osnove \(C(2,0)\), poluprečnik \(R=2\). Ravan \(x=2\) deli cilindar na dve polovine. Traži se ona kojoj ne pripada \(z\)-osa, tj. sa \(x\ge 2\).

Korak 2 — Parametrizacija

\[ \begin{aligned} x&=2+2\cos\theta,\quad y=2\sin\theta,\quad \theta\in\Big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big],\\ z&\in[\,0,\;4+x^2+y^2\,]=[\,0,\;4(1+x)\,]=[\,0,\;4(3+2\cos\theta)\,]. \end{aligned} \]

Uslov \(x\ge2\iff\cos\theta\ge0\) daje raspon ugla kao gore.

Korak 3 — Element površine

\[ \mathbf r_\theta=(-2\sin\theta,\,2\cos\theta,\,0),\quad \mathbf r_z=(0,0,1),\quad \|\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z\|=2\;\Rightarrow\; dS=2\,d\theta\,dz. \]

Korak 4 — Integral

\[ \begin{aligned} S&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{4(3+2\cos\theta)}2\,dz\,d\theta =8\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\big(3+2\cos\theta\big)\,d\theta\\ &=8\Big(3\theta+2\sin\theta\Big)\Big|_{-\pi/2}^{\pi/2} =8\big(3\pi+4\big)=\boxed{24\pi+32}. \end{aligned} \]

Odgovor: \(S=24\pi+32\)

Interaktivno (GeoGebra 3D)

Cilindar, ravni \(x=2,\, z=0\) i paraboloid \(z=4+x^2+y^2\).

2) \(\displaystyle \iint_D \frac{2xy}{x^2+y^2}\,e^{x^2+y^2}\,dx\,dy\), gde je \(D:\ x^2+(y-1)^2\le1,\ x\ge0\)

Korak 1 — Skica domene i prelaz u polarne koordinate

Krug je centriran u \((0,1)\) poluprečnika \(1\); uslov \(x\ge0\) uzima desnu polovinu. U polarnim koordinatama \((x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\) kružnica daje:

\[ x^2+(y-1)^2=1 \;\Longleftrightarrow\; r^2-2r\sin\theta=0 \;\Longleftrightarrow\; 0\le r\le 2\sin\theta,\quad \theta\in\Big[0,\frac{\pi}{2}\Big]. \]

  • \(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\) zato što \(x=r\cos\theta\ge0\Rightarrow \cos\theta\ge0\).

Korak 2 — Transformacija integrala

\[ \frac{2xy}{x^2+y^2}e^{x^2+y^2} \;\xrightarrow{(r,\theta)}\; 2\cos\theta\sin\theta\,e^{r^2},\qquad dx\,dy=r\,dr\,d\theta. \] \[ I=\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{2\sin\theta} 2\cos\theta\sin\theta\,e^{r^2}\,r\,dr\,d\theta. \]

Za fiksno \(\theta\): postavi \(u=r^2\Rightarrow du=2r\,dr\).

\[ I=\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta \Big[e^{u}\Big]_{u=0}^{u=4\sin^2\theta}\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\big(e^{4\sin^2\theta}-1\big)\,d\theta. \]

Korak 3 — Substitucija \(t=\sin^2\theta\) i račun

\(t=\sin^2\theta\Rightarrow dt=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta\), a \(\theta:0\to\frac{\pi}{2}\Rightarrow t:0\to1\).

\[ I=\frac12\int_{0}^{1}\big(e^{4t}-1\big)\,dt =\frac12\left[\frac{e^{4t}}{4}-t\right]_{0}^{1} =\boxed{\frac{e^{4}-5}{8}}. \]

Odgovor: \(I=(e^{4}-5)/8\)

Interaktivno (GeoGebra 2D)

Krug \((x)^2+(y-1)^2=1\) i prava \(x=0\) (uzima se desna polovina).

3) \(\displaystyle \iiint_G \frac{dx\,dy\,dz}{(3x+y+z-2)^5}\), \(G=\{(x,y,z)\mid 3x+y+z\le3,\,x,y,z\ge0\}\)

Korak 1 — Oblast i moguće singularnosti

\(G\) je tetraedar u prvom oktantu ograničen koordinatnim ravnima i ravni \(3x+y+z=3\). Imenilac se poništava na ravni \(3x+y+z=2\), koja je paralelna graničnoj i prolazi kroz unutrašnjost \(G\).

Korak 2 — Fubini po \(z\) i pojava „smrtonosne“ tačke

Za fiksno \((x,y)\) (sa \(3x+y<3\)), promenljiva \(z\in[0,\,3-3x-y]\). Posmatrajmo integral po \(z\):

\[ J(x,y)=\int_{0}^{\,3-3x-y}\frac{dz}{(3x+y+z-2)^5}. \]

Tačka \(z_0=2-(3x+y)\). Ako je \(3x+y<2\) (što se dešava za čitav „pojas“ \((x,y)\) nenulte mere), tada je \(z_0>0\) i takođe \(z_0<3-3x-y\) (jer \(2<3\)), pa singularnost leži unutar intervala integracije.

Korak 3 — Lokalna analiza oko singularnosti i zaključak

Postavi \(u=z-z_0\). U simetričnom malom intervalu \((- \varepsilon,\varepsilon)\) oko \(u=0\):

\[ \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\frac{du}{|u|^{5}}=+\infty. \]

Prema tome, \(J(x,y)=+\infty\) za svako \((x,y)\) iz tog pojasa, pa ceo trostruki integral divergira (ne postoji kao konačna, realna vrednost).

Zaključak: integral ne konvergira (divergira).

Interaktivno (GeoGebra 3D)

Ravni \(3x+y+z=3\) (granična) i \(3x+y+z=2\) (singularna) + trougao preseka sa osama.

4) Površina dela površi \(z=2y+3\) odsečene sa \(y=x^2\) i \(y=1\)

Korak 1 — Projekcija i oblast u \(xy\)-ravni

Ograničenja \(y=x^2\) i \(y=1\) zatvaraju pojas: \[ R=\{(x,y)\mid -1\le x\le1,\ x^2\le y\le1\}. \]

Korak 2 — Element površine za graf \(z=f(x,y)\)

Za graf \(z=f(x,y)\) važi \(dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy\). Ovde je \(f(x,y)=2y+3\Rightarrow f_x=0,\ f_y=2\), pa je faktor stalan: \(\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}\).

Korak 3 — Račun površine

\[ \begin{aligned} S&=\iint_R \sqrt{5}\,dx\,dy =\sqrt{5}\int_{-1}^{1}\!\left(\int_{x^2}^{1}dy\right)dx =\sqrt{5}\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx\\ &=\sqrt{5}\Big[x-\frac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{1} =\sqrt{5}\left(\frac{2}{1}-\frac{2}{3}\right) =\boxed{\frac{4\sqrt{5}}{3}}. \end{aligned} \]

Odgovor: \(S=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}\)

Interaktivno (GeoGebra 3D)

Ravan \(z=2y+3\), parabolični cilindar \(y=x^2\) i ravan \(y=1\).

5.1) Linijski integral \(\displaystyle \int (\cos x\,dx + x\sin y\,dy)\) duž odsečka A\((0,0)\)–B\((2\pi,\pi)\)

Korak 1 — Parametrizacija putanje

\[ \mathbf r(t)=(x,y)=(2\pi t,\ \pi t),\quad t\in[0,1],\quad dx=2\pi\,dt,\ dy=\pi\,dt. \]

Korak 2 — Zamena u integrandu

\[ \cos x\,dx \to \cos(2\pi t)\cdot 2\pi\,dt,\qquad x\sin y\,dy \to (2\pi t)\sin(\pi t)\cdot \pi\,dt, \] \[ I=\int_{0}^{1}\big[2\pi\cos(2\pi t)+2\pi^2 t\sin(\pi t)\big]\,dt. \]

Korak 3 — Računanje integrala

\[ I=\Big[\sin(2\pi t)\Big]_0^1+2\pi^2\!\int_0^1 t\sin(\pi t)\,dt. \] \[ \text{Delovi: }u=t,\ du=dt;\quad dv=\sin(\pi t)\,dt,\ v=-\frac{\cos(\pi t)}{\pi}. \] \[ \int_0^1 t\sin(\pi t)\,dt =\left.-\frac{t\cos(\pi t)}{\pi}\right|_0^1 +\frac{1}{\pi}\int_0^1\cos(\pi t)\,dt =\frac{1}{\pi}. \] \[ \Rightarrow\quad I=0+2\pi^2\cdot\frac{1}{\pi}=\boxed{2\pi}. \]

Odgovor: \(2\pi\)

Interaktivno (GeoGebra 2D)

Prikazan je odsečak A–B.

5.2) Površina oblasti \(D:\ 12x^2+3y^2\le36\)

Korak 1 — Elipsa i poluose

Prepiši u standardni oblik: \[ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{12}\le1\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{3},\ b=2\sqrt{3}. \]

Korak 2 — Površina elipse (direktno)

\[ S=\pi ab=\pi\cdot\sqrt3\cdot 2\sqrt3=\boxed{6\pi}. \]
Varijanta: promena promenljivih (elipsno-polarno)
\[ x=\sqrt{3}\,r\cos\theta,\ y=2\sqrt{3}\,r\sin\theta,\ 0\le r\le1,\ 0\le\theta<2\pi, \] \[ J=6r\Rightarrow dx\,dy=6r\,dr\,d\theta,\quad S=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 6r\,dr\,d\theta=6\pi. \]

Odgovor: \(6\pi\)

Interaktivno (GeoGebra 2D)

Elipsa \(12x^2+3y^2=36\).

5.3) Zapremina kugle \(x^2+y^2+z^2\le49\)

Korak 1 — Sferne koordinate i Jakobian

\[ x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi, \] \[ \rho\in[0,7],\ \varphi\in[0,\pi],\ \theta\in[0,2\pi),\qquad dx\,dy\,dz=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. \]

Korak 2 — Trostruki integral

\[ \begin{aligned} V&=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{7}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\Big[\frac{\rho^3}{3}\Big]_0^7\cdot\Big[-\cos\varphi\Big]_0^\pi\cdot\Big[\theta\Big]_0^{2\pi}\\ &=\frac{343}{3}\cdot 2\cdot 2\pi =\boxed{\frac{1372}{3}\pi}. \end{aligned} \]

Odgovor: \(\dfrac{1372}{3}\pi\)

Interaktivno (GeoGebra 3D)

Kugla poluprečnika 7.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *