Krivolinijski integral druge vrste

Strana 1
Strana 2




Definicija u ravni

Neka je data vektorska funkcija \(\mathbf{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\) i neka je \(L\) kriva u ravni, orijentisana i glatka. Krivolinijski integral druge vrste ima oblik:

\[\int\limits_{L}P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy.\]

Računanje kada je kriva data eksplicitno

Ako je kriva \(L\) data diferencijabilnom funkcijom \(y=y(x)\), \(x\in[a,b]\), tada važi:

\[\int\limits_{L}P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=\int_{a}^{b}(P(x,y(x))+Q(x,y(x))\,y'(x))\,dx.\]

Primer 1) Izračunati integral \(\int\limits_{L}(x+y)\,dx+x^{2}\,dy\) gde je \(L\) parabola \(y=x^{2}\), \(x\in[0,1]\) orijentisana u smeru rasta parametra.

Rešenje: Imamo \(y(x)=x^{2}\), pa je \(dy=2x\,dx\). Dakle:

\[I=\int\limits_{L}(x+y)\,dx+x^{2}\,dy=\int_{0}^{1}((x+x^{2})+x^{2}\cdot(2x))\,dx.\]
\[I=\int_{0}^{1}(x+x^{2}+2x^{3})\,dx=(\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{2})|_{0}^{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{3}.\]

Računanje kada je kriva data parametarski

Ako je kriva data parametarski \(x=x(t)\), \(y=y(t),\) \(t\in[\alpha,\beta]\), tada:

\[\int\limits_{L}P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=\int_{\alpha}^{\beta}(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t))\,dt.\]

Primer 2) Izračunati integral \(\int\limits_{L}y\,dx+x\,dy,\) gde je kriva \(L\) data parametarski \(x(t)=\cos t,\;y(t)=\sin t\), od tačke \((0,1)\) do tačke \((1,0)\).

Rešenje: Tačka \((0,1)\) odgovara parametru \(t=\frac{\pi}{2}\), a tačka \((1,0)\) odgovara \(t=0\). Dakle parametar ide od \(t=\frac{\pi}{2}\) do \(t=0\). Izvodi su

\[x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t,\]

pa je

\[I=\int\limits_{L}y\,dx+x\,dy=\int_{\pi/2}^{0}(\sin t\cdot(-\sin t)+\cos t\cdot\cos t)dt.\]

Kako je \(\cos^{2}t-\sin^{2}t=\cos(2t)\) dobijamo

\[I=\int_{\pi/2}^{0}\cos(2t)\,dt=\frac{1}{2}\sin(2t)\bigg|_{\pi/2}^{0}=0.\]

Definicija u prostoru

Neka je dato vektorsko polje \(F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\) i neka je \(L\) kriva u prostoru, orijentisana i glatka. Krivolinijski integral druge vrste ima oblik:

\[\int\limits_{L}P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz.\]

Računanje kada je kriva data eksplicitno

Pretpostavimo da je kriva \(L\) zadata diferencijabilnim funkcijama

\[y=y(x),\qquad z=z(x),\qquad x\in[a,b].\]

Tada je

\[\int\limits_{L}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_{a}^{b}(P(x,y(x),z(x))+Q(x,y(x),z(x))\,y'(x)+R(x,y(x),z(x))\,z'(x))\,dx.\]

Primer 3) Izračunati integral \(\int\limits_{L}y\,dx+z\,dy+x\,dz,\) gde je kriva u prostoru zadana eksplicitno kao

\[y=x^{2},\qquad z=x^{3},\qquad x\in[-1,1],\]

u smeru rasta parametra \(x\).

Rešenje: U ovom slučaju dobijamo

\[y'(x)=2x,\qquad z'(x)=3x^{2}\]

pa je

\[\int\limits_{L}y\,dx+z\,dy+x\,dz=\int_{-1}^{1}\big(x^{2}+x^{3}\cdot(2x)+x\cdot(3x^{2})\big)\,dx=\int_{-1}^{1}\big(x^{2}+3x^{3}+2x^{4}\big)\,dx.\]

Računamo ove integrale pojedinačno

\[\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}\bigg|_{-1}^{1}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3},\]
\[\int_{-1}^{1}3x^{3}\,dx=\frac{3x^{4}}{4}\bigg|_{-1}^{1}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=0,\]
\[\int_{-1}^{1}2x^{4}\,dx=\frac{2x^{5}}{5}\bigg|_{-1}^{1}=\frac{2}{5}-\left(-\frac{2}{5}\right)=\frac{4}{5}.\]

Dakle

\[\int\limits_{L}y\,dx+z\,dy+x\,dz=\frac{22}{15}.\]

Računanje kada je kriva data parametarski

Ako je kriva data parametarski \(x=x(t)\), \(y=y(t),\) \(z=z(t),\) \(t\in[\alpha,\beta]\), tada:

\[\int\limits_{L}P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_{\alpha}^{\beta}\big(P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\big)\,dt.\]

Primer 4) Izračunati integral \(\int\limits_{L}x^{3}\,dx+3zy^{2}\,dy-x^{2}y\,dz\) gde je \(L\) odsečak prave od tačke \(A(3,2,1)\) do tačke \(O(0,0,0).\)

Rešenje: Duž \(OA\) možemo napisati u parametarskom obliku

\[x(t)=3t,\quad y(t)=2t,\quad z(t)=t,\qquad t\in[0,1].\]

Vidimo da se tačka \(A\) dobije za \(t=1\), dok tačku \(O\) dobijamo za \(t=0\). Kako su

\[x'(t)=3,\quad y'(t)=2,\quad z'(t)=1,\]

imamo

\[\int\limits_{L}x^{3}\,dx+3zy^{2}\,dy-x^{2}y\,dz=\int_{1}^{0}((3t)^{3}\cdot3+3\cdot t\cdot(2t)^{2}\cdot2-(3t)^{2}(2t)\cdot1)dt.\]

Sređivanjem dobijamo

\[\int\limits_{L}x^{3}\,dx+3zy^{2}\,dy-x^{2}y\,dz=\int_{1}^{0}87t^{3}\,dt=87\cdot(-\frac{1}{4})=-\frac{87}{4}.\]