Zapremina rotacionog tela

\[V=\pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)\,dx.\]

Rešenje: \[V=\pi\int_{0}^{4}(\sqrt{x})^{2}\,dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx=\pi\frac{x^{2}}{2}\bigg|_{0}^{4}=8\pi.\]

\[V=\pi\int_{a}^{b}g^{2}(y)\,dy.\]

Rešenje:

S obzirom da je sada rotacija oko \(y\)-ose najpre moramo \(x\) dobiti kao funkciju po \(y\):

\[y=\sqrt{x}\text{ sledi } x=y^{2}, y\in[0,2].\] \[V=\pi\int_{0}^{2}(y^{2})^{2}\,dy=\pi\int_{0}^{2}y^{4}\,dy=\pi\frac{y^{5}}{5}\bigg|_{0}^{2}=\frac{32}{5}\pi.\]

\[V_{x}=\pi\int_{\alpha}^{\beta}y^{2}(t)\,|x'(t)|\,dt.\]

Rešenje: Ovde je \(x'(t)=-3\sin t,\) pa je \(|x'(t)|=3|\sin t|.\) Sa slike vidimo da pošto rotiramo oko \(x\)-ose, dovoljno je da rotiramo samo gornju (ili donju) polovinu elipse kako bismo dobili kompletan elipsoid. Za gornju polovinu elipse uzimamo \(t\in[0,\pi]\), gde je \(\sin t\geq0\), pa važi \(|x'(t)|=3\sin t\), a \(y(t)=2\sin t\). Dakle: \[V_{x}=\pi\int_{0}^{\pi}(2\sin t)^{2}\cdot3\sin t\,dt=12\pi\int_{0}^{\pi}\sin^{3}t\,dt.\] Rešićemo najpre ovaj integral kao neodređeni, smenom \(z=\cos t\), a zatim zameniti granice. Kako je \[\int\sin^{3}t\,dt=\int\sin^{2}t\:\sin tdt=\int(1-z^{2})(-dz)=-\cos t+\frac{\cos^{3}t}{3}+C\] dobijamo \[\int_{0}^{\pi}\sin^{3}t\,dt=\bigg(-\cos t+\frac{\cos^{3}t}{3}\bigg)\bigg|_{0}^{\pi}=\frac{4}{3}.\] Sada je zapremina \[V_{x}=12\pi\cdot\frac{4}{3}=16\pi.\] *Napomena: Zapreminu smo ovde mogli da računamo i tako što posmatramo polovinu elipsoida za \(t\in[0,\frac{\pi}{2}]\) i taj rezultat pomnožimo sa dva.

\[V_{y}=\pi\int_{\alpha}^{\beta}x^{2}(t)\,|y'(t)|\,dt.\]

Rešenje: Sada je \(y'(t)=2\cos t,\) pa je \(|y'(t)|=2|\cos t|\). Na osnovu prethodnog primera, dovoljno je da rotiramo samo deo elipse u prvom kvadrantu (četvrtinu elipse) i tako dobijemo gornju polovinu elipsoida i zatim to pomnožimo sa dva. Kako za \(t\in[0,\frac{\pi}{2}]\) imamo \(|y'(t)|=2\cos t\), dobijamo \[V=\pi\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(3\cos t)^{2}\cdot2\cos t\,dt=2\pi\int_{0}^{\pi/2}(3\cos t)^{2}\cdot2\cos t\,dt=36\pi\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}t\,dt.\] Smenom \(z=\sin t\), \(dz=\cos t\) dt dobijamo \[\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}t\,dt=\int_{0}^{1}(1-z^{2})dz=\big(z-\frac{z^{3}}{3}\bigg)\bigg|_{0}^{1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\] pa je \[V_{y}=36\pi\cdot\frac{2}{3}=24\pi.\]

Rešenje: Vidimo da se tačka \(A\) dobija za \(t=0,\) dok tačku \(B\) dobijamo za \(t=\pi/2\). Takođe \[x'(t)=(2\cos^{3}t)'=2\cdot3\cos^{2}t\cdot(\cos t)'=6\cos^{2}t\cdot(-\sin t)=-6\cos^{2}t\sin t.\] Dakle \[V=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2\sin^{3}t)^{2}\cdot|-6\cos^{2}t\sin t|\,dt=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}24\sin^{7}t\cos^{2}t\,dt.\] Primetimo da je \[\sin^{7}t\cos^{2}t\,dt=\big(\sin^{6}t\big)\cos^{2}t\sin t\,dt=\big(1-\cos^{2}t\big)^{3}\cos^{2}t\sin t\,dt\] pa nakon smene \(z=\cos t,\;dz=-\sin t\,dt\) dobijamo \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{7}t\cos^{2}t\,dt=\int_{1}^{0}-z^{2}(1-z^{2})^{3}\,dz=\int_{0}^{1}z^{2}(1-z^{2})^{3}\,dz.\] Kako je \[z^{2}(1-z^{2})^{3}=z^{2}(1-3z^{2}+3z^{4}-z^{6})=z^{2}-3z^{4}+3z^{6}-z^{8}\] dobijamo \[\int_{0}^{1}\big(z^{2}-3z^{4}+3z^{6}-z^{8}\big)\,dz=\left[\frac{z^{3}}{3}-\frac{3z^{5}}{5}+\frac{3z^{7}}{7}-\frac{z^{9}}{9}\right]\bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{3}{7}-\frac{1}{9}.\] Sređivanjem izraza imamo \[\frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{3}{7}-\frac{1}{9}=\frac{105-189+135-35}{315}=\frac{16}{315}.\] Dakle, \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{7}t\cos^{2}t\,dt=\frac{16}{315},\] pa je \[V=24\pi\cdot\frac{16}{315}=\frac{384}{315}\,\pi=\frac{128}{105}\,\pi.\]