Matemeatika 2 Školska Godina 2024/2025 - Projekti Katedre za matematičke nauke TMF-a

{Zadatak 1}
Odrediti integral:

I = \int x \cdot arctan 2 (x) d x

{Rešenje}

Imamo dati integral:

I = \int x \cdot arctan 2 (x) d x

Koristićemo parcijalnu integraciju. Formula za parcijalnu integraciju je:

\int u d v = u v - \int v d u

gde su u i v funkcije koje odaberemo u zavisnosti od integrala. Izaberemo:

u = arctan 2 x, d v = x d x

Zato su:

d u = 2 arctan x 1 + x 2 d x, v = x 2 2

Primena formule daje:

I = x 2 2 arctan 2 x - \int x 2 arctan x 1 + x 2 d x

{Razlaganje integrala:}

Razlažemo integral na dva dela:

\int x 2 arctan x 1 + x 2 d x = \int arctan x d x - \int arctan x 1 + x 2 d x

{Prvi integral:}

Za prvi integral ∫arctanxdx koristićemo parcijalnu integraciju. Postavimo:

u = arctan x, d v = d x

Zato imamo:

d u = 1 1 + x 2 d x, v = x

Sada primenjujemo formulu parcijalne integracije:

\int arctan x d x = x arctan x - \int x 1 + x 2 d x

Za integral ∫x1+x2dx koristimo metodu smene:

t = 1 + x 2, d t = 2 x d x

Dakle:

\int x 1 + x 2 d x = 1 2 ln (1 + x 2)

Zbog toga imamo:

\int arctan x d x = x arctan x - 1 2 ln (1 + x 2)

{Drugi integral:}

Za drugi integral ∫arctanx1+x2dx, koristićemo ponovo parcijalnu integraciju. Postavimo:

u = arctan x, d v = 1 1 + x 2 d x

Zato imamo:

d u = 1 1 + x 2 d x, v = arctan x

Primena parcijalne integracije daje:

\int arctan x 1 + x 2 d x = 1 2 arctan 2 x

{Konačni rezultat:}

Sada možemo da završimo integral:

I = x 2 2 arctan 2 x - (x arctan x - 1 2 ln (1 + x 2)) + 1 2 arctan 2 x

Kombinovanjem svih članova dobijamo:

I = x 2 2 arctan 2 x - x arctan x + 1 2 ln (1 + x 2) + 1 2 arctan 2 x + C

{Zadatak 2:}

Izračunati

\int - 2 - 3 1 - x + 3 -----\sqrt 3 1 + x + 3 -----\sqrt 3 d x

Rešenje
Postavićemo i rešavaćemo ovaj integral kao neodredjeni, pa ćemo na kraju vratiti granice.
Neka je smena t=x+3−−−−−√6. Tada je dx=6t5dt.

t = x + 3 -----\sqrt 6 \Rightarrow t 2 = x + 3 -----\sqrt 3, t 6 = x + 3, d x = 6 t 5 d t

I = \int 1 - t 3 1 + t 2 \cdot 6 t 5 d t = 6 \int t 5 - t 8 1 + t 2 d t = 6 \cdot (\int t 5 1 + t 2 d t - \int t 8 1 + t 2 d t)

Sada kada imamo dva zasebna integrala, rešavaćemo ih odvojeno.

I 1 = \int t 5 1 + t 2 d t = \int (t 3 - t + t 1 + t 2) d t = \int t 3 d t - \int t d t + \int t 1 + t 2 d t

Sada uvodimo još jednu smenu i ubacujemo je u integral.

1 + t 2 = m, 2 t d t = d m, d t = d m 2 t

\int t 3 d t - \int t d t + 1 2 \int 1 m d m = t 4 4 - t 2 2 + 1 2 ln | m | + C = t 4 4 - t 2 2 + 1 2 ln | 1 + t 2 | + C

I 2 = \int t 8 1 + t 2 d t = \int t 6 d t - \int t 4 d t + \int t 2 d t - \int d t + \int 1 1 + t 2 d t = t 7 7 - t 5 5 + t 3 3 - t + arctan t + C

Nakon rešavanja oba integrala, možemo se vratiti na početni i oduzeti ih.

I = 6 \cdot (I 1 - I 2) = 6 \cdot (t 4 4 - t 2 2 + 1 2 ln | 1 + t 2 | - t 7 7 + t 5 5 - t 3 3 + t - arctan t) + C

Sada vraćamo smenu t=x+3−−−−−√6 i ubacujemo granice:

I = 6 \cdot (( x + 3 ) 4 -------\sqrt 6 4 - ( x + 3 ) 2 -------\sqrt 6 2 + 1 2 ln (1 + (x + 3) 2 -------\sqrt 6) - ( x + 3 ) 7 -------\sqrt 6 7 + ( x + 3 ) 5 -------\sqrt 6 5 - ( x + 3 ) 3 -------\sqrt 6 3 + x + 3 -----\sqrt 6 - arctan x + 3 -----\sqrt 6) ∣∣∣ - 2 - 3

Donja granica x=−3 daje rezultat 0 kada ubacimo jer je:

(x + 3) ------\sqrt 6 = 0 -\sqrt 6 = 0

ln (1 + 0) = ln 1 = 0, arctan 0 = 0

Tako da je rezultat sledeći:

I = 6 \cdot (1 2 ln 2 - π 4 + 1 4 - 1 2 - 1 7 + 1 5 - 1 3 + 1)

Nalazimo zajednički delilac i dobijamo konačno rešenje:

I = 6 \cdot (1 2 ln 2 - π 4 + 199 420) = 3 ln 2 - 3 π 2 + 199 70

Add Your Heading Text Here

{Zadatak 1}
Odrediti integral:

I = \int x \cdot arctan 2 (x) d x

{Rešenje}

Imamo dati integral:

I = \int x \cdot arctan 2 (x) d x

Koristićemo parcijalnu integraciju. Formula za parcijalnu integraciju je:

\int u d v = u v - \int v d u

gde su u i v funkcije koje odaberemo u zavisnosti od integrala. Izaberemo:

u = arctan 2 x, d v = x d x

Zato su:

d u = 2 arctan x 1 + x 2 d x, v = x 2 2

Primena formule daje:

I = x 2 2 arctan 2 x - \int x 2 arctan x 1 + x 2 d x

{Razlaganje integrala:}

Razlažemo integral na dva dela:

\int x 2 arctan x 1 + x 2 d x = \int arctan x d x - \int arctan x 1 + x 2 d x

{Prvi integral:}

Za prvi integral ∫arctanxdx koristićemo parcijalnu integraciju. Postavimo:

u = arctan x, d v = d x

Zato imamo:

d u = 1 1 + x 2 d x, v = x

Sada primenjujemo formulu parcijalne integracije:

\int arctan x d x = x arctan x - \int x 1 + x 2 d x

Za integral ∫x1+x2dx koristimo metodu smene:

t = 1 + x 2, d t = 2 x d x

Dakle:

\int x 1 + x 2 d x = 1 2 ln (1 + x 2)

Zbog toga imamo:

\int arctan x d x = x arctan x - 1 2 ln (1 + x 2)

{Drugi integral:}

Za drugi integral ∫arctanx1+x2dx, koristićemo ponovo parcijalnu integraciju. Postavimo:

u = arctan x, d v = 1 1 + x 2 d x

Zato imamo:

d u = 1 1 + x 2 d x, v = arctan x

Primena parcijalne integracije daje:

\int arctan x 1 + x 2 d x = 1 2 arctan 2 x

{Konačni rezultat:}

Sada možemo da završimo integral:

I = x 2 2 arctan 2 x - (x arctan x - 1 2 ln (1 + x 2)) + 1 2 arctan 2 x

Kombinovanjem svih članova dobijamo:

I = x 2 2 arctan 2 x - x arctan x + 1 2 ln (1 + x 2) + 1 2 arctan 2 x + C

{Zadatak 2:}

Izračunati

\int - 2 - 3 1 - x + 3 -----\sqrt 3 1 + x + 3 -----\sqrt 3 d x

Rešenje
Postavićemo i rešavaćemo ovaj integral kao neodredjeni, pa ćemo na kraju vratiti granice.
Neka je smena t=x+3−−−−−√6. Tada je dx=6t5dt.

t = x + 3 -----\sqrt 6 \Rightarrow t 2 = x + 3 -----\sqrt 3, t 6 = x + 3, d x = 6 t 5 d t

I = \int 1 - t 3 1 + t 2 \cdot 6 t 5 d t = 6 \int t 5 - t 8 1 + t 2 d t = 6 \cdot (\int t 5 1 + t 2 d t - \int t 8 1 + t 2 d t)

Sada kada imamo dva zasebna integrala, rešavaćemo ih odvojeno.

I 1 = \int t 5 1 + t 2 d t = \int (t 3 - t + t 1 + t 2) d t = \int t 3 d t - \int t d t + \int t 1 + t 2 d t

Sada uvodimo još jednu smenu i ubacujemo je u integral.

1 + t 2 = m, 2 t d t = d m, d t = d m 2 t

\int t 3 d t - \int t d t + 1 2 \int 1 m d m = t 4 4 - t 2 2 + 1 2 ln | m | + C = t 4 4 - t 2 2 + 1 2 ln | 1 + t 2 | + C

I 2 = \int t 8 1 + t 2 d t = \int t 6 d t - \int t 4 d t + \int t 2 d t - \int d t + \int 1 1 + t 2 d t = t 7 7 - t 5 5 + t 3 3 - t + arctan t + C

Nakon rešavanja oba integrala, možemo se vratiti na početni i oduzeti ih.

I = 6 \cdot (I 1 - I 2) = 6 \cdot (t 4 4 - t 2 2 + 1 2 ln | 1 + t 2 | - t 7 7 + t 5 5 - t 3 3 + t - arctan t) + C

Sada vraćamo smenu t=x+3−−−−−√6 i ubacujemo granice:

I = 6 \cdot (( x + 3 ) 4 -------\sqrt 6 4 - ( x + 3 ) 2 -------\sqrt 6 2 + 1 2 ln (1 + (x + 3) 2 -------\sqrt 6) - ( x + 3 ) 7 -------\sqrt 6 7 + ( x + 3 ) 5 -------\sqrt 6 5 - ( x + 3 ) 3 -------\sqrt 6 3 + x + 3 -----\sqrt 6 - arctan x + 3 -----\sqrt 6) ∣∣∣ - 2 - 3

Donja granica x=−3 daje rezultat 0 kada ubacimo jer je:

(x + 3) ------\sqrt 6 = 0 -\sqrt 6 = 0

ln (1 + 0) = ln 1 = 0, arctan 0 = 0

Tako da je rezultat sledeći:

I = 6 \cdot (1 2 ln 2 - π 4 + 1 4 - 1 2 - 1 7 + 1 5 - 1 3 + 1)

Nalazimo zajednički delilac i dobijamo konačno rešenje:

I = 6 \cdot (1 2 ln 2 - π 4 + 199 420) = 3 ln 2 - 3 π 2 + 199 70