Odrediti površinu lika određenog parabolom \(y=x^2-8x+17\) i njenim tangentama u
\(M(3,2)\) i \(N(5,2)\).
Rešenje:
Izvod funkcije je \(y’=2x-8\).
Koeficijent pravca tangente je \(k=y'(x_{0})\), a odsečak na \(y\)-osi dobijamo
zamenom u jednačinu \(y=kx+n\).
Tangente: u \(x=3\): \(k=-2\) pa \(y=-2x+8\); u \(x=5\): \(k=2\) pa \(y=2x-8\).
Presek tangenti je \((4,0)\).
Tražena površina je iznad tangenti a ispod parabole, simetrično oko \(x=4\):
\[
P=\int_{3}^{4}\big[(x^2-8x+17)-(-2x+8)\big]\,dx
+\int_{4}^{5}\big[(x^2-8x+17)-(2x-8)\big]\,dx.
\]
Nakon sređivanja, podintegralne funkcije su \((x-3)^2\) i \((x-5)^2\):
\[
P=\int_3^4 (x-3)^2\,dx + \int_4^5 (x-5)^2\,dx
=\frac{(x-3)^3}{3}\Big|_{3}^{4}+\frac{(x-5)^3}{3}\Big|_{4}^{5}
=\frac{2}{3}.
\]
Zadatak 4a
Proveriti da li funkcija \(z(x,y)=xy\ln(x+y)\) zadovoljava
\(\;x\!\left(z_x+z_{xx}\right)=y\!\left(z_y+z_{yy}\right)\) (uslov: \(x+y\gt 0\)).
Rešenje
Parcijalni izvodi su:
\[
z_x = y\ln(x+y)+\frac{xy}{x+y},\quad
z_{xx}= \frac{y}{x+y}+\frac{y^2}{(x+y)^2};
\qquad
z_y = x\ln(x+y)+\frac{xy}{x+y},\quad
z_{yy}= \frac{x}{x+y}+\frac{x^2}{(x+y)^2}.
\]
Leva i desna strana su redom:
\[
\mathrm{L}=xy\ln(x+y)+\frac{x^2y}{x+y}+\frac{xy}{x+y}+\frac{xy^2}{(x+y)^2},\quad
\mathrm{D}=xy\ln(x+y)+\frac{xy^2}{x+y}+\frac{xy}{x+y}+\frac{x^2y}{(x+y)^2}.
\]
Razlika je:
\[
\mathrm{L}-\mathrm{D}=\frac{xy(x-y)(x+y-1)}{(x+y)^2}.
\]
Dakle, jednakost nije tačna uopšte; važi samo na skupovima
\(x=y\) ili \(x+y=1\).
Zadatak 4b
Odrediti ekstremne vrednosti funkcije \(f(x,y)=3x^2-2xy+y^2-8y\).
Rešenje:
Stacionarne tačke nalazimo iz uslova da su parcijalni izvodi jednaki nuli:
\[
f_x=6x-2y=0\ \Rightarrow\ y=3x, \qquad
f_y=-2x+2y-8=0\ \Rightarrow\ y=x+4.
\]
Izjednačavanjem dobijamo \(3x=x+4 \Rightarrow x=2,\; y=6\), pa je stacionarna tačka \(M(2,6)\).
Da bismo odredili tip tačke, računamo druge parcijalne izvode:
\[
f_{xx}=6,\qquad f_{xy}=-2,\qquad f_{yy}=2.
\]
\[
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=6\cdot2-(-2)^{2}=12-4=8>0.
\]
Kako je \(D>0\) i \(f_{xx}=6>0\), tačka \(M(2,6)\) je lokalni minimum.
Vrednost funkcije u toj tački:
\[
f(2,6)=3\cdot4-2\cdot12+36-48=-24.
\]
Minimum: \((2,6)\) sa vrednošću \(-24\).
