Školska 2017/18, septembarski ispitni rok, I kolokvijum grupa A

Uvodna teorija

Neodređeni integral

Ako je F'(x)=f(x), onda važi:

∫f(x) dx=F(x)+C

Metode:

Smena (zamena promenljive):

x=φ(t),dx=φ′(t) dt

∫f(x) dx=∫f(φ(t))φ′(t) dt

Parcijalna integracija:

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = uv – \int v\,du

Dužina luka krive

Ako je kriva:

x=x(t),y=y(t),t∈[a,b]

onda:

ds= (dxdt)2+(dydt)2 dt

I=∫ab(dxdt)2+(dydt)2 dt

Za y=f(x):

I=∫ab1+(f′(x))2 dx

Zapremina tela rotacije

Rotacija oko x-ose:

V=π∫ab(f(x))2 dx

Rotacija oko y-ose:

V=π∫cd(g(y))2 dy

Parametarski oblik:

V=π∫αβ(y(t))2dxdt dt

Totalna diferencijacija

Za z=f(x,y):

dz=∂f∂x dx+∂f∂y dy

Totalni diferencijal drugog reda:

d2z=∂2f∂x2(dx)2+2∂2f∂x∂y dx dy+∂2f∂y2(dy)2

Površina figure

Ako je y=f(x):

P=∫abf(x) d

Ako je y=f(x) i y=g(x):

P=∫ab[f(x)−g(x)] dx

1.Izračunati:

∫x+13x+1−8 dx
Zadatak 1

1. Izračunati

$$\int \frac{\sqrt[3]{x+1}}{\sqrt{x+1}-8}\, dx$$

Smena: Neka važi smena $x+1=t^6$, $dx=6t^5 dt$.

$$I = \int \frac{t^2 \cdot 6 t^5}{t^3-8}\, dt = 6\int \frac{t^7}{t^3-8}\, dt$$

Radi se deljenje polinoma:

$$\frac{t^7}{t^3-8} = t^4 + 8 t + \frac{64 t}{t^3-8}$$

Parcijalni razlomci:

$$\frac{t}{(t-2)(t^2+2t+4)} = \frac{A}{t-2} + \frac{B t + C}{t^2+2t+4}$$

Rešenje sistema: $A=1/6$, $B=-1/6$, $C=1/2$

Kada vratimo:

$$I_1 = \frac{1}{6}\int \frac{dt}{t-2} – \frac{1}{6} \int \frac{t}{t^2+2t+4}\, dt + \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t^2+2t+4}$$

Integrali pojedinačno:

  • $$\int \frac{dt}{t-2} = \ln|t-2|$$
  • $$\int \frac{t}{t^2+2t+4} dt = \int \frac{t+1}{t^2+2t+4} dt – \int \frac{1}{t^2+2t+4} dt$$
  • $$\int \frac{t+1}{t^2+2t+4} dt = \frac{1}{2} \ln(t^2+2t+4)$$
  • $$\int \frac{1}{t^2+2t+4} dt = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\frac{t+1}{\sqrt{3}}$$
  • $$\int \frac{dt}{t^2+2t+4} = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\frac{t+1}{\sqrt{3}}$$

Kombinovanjem dobijamo:

$$I = \frac{1}{6} \ln|t-2| – \frac{1}{12} \ln(t^2+2t+4) + \frac{\sqrt{3}}{6} \arctan\frac{t+1}{\sqrt{3}} + C$$

Zamena smene:

$$t = (x+1)^{1/6}$$

$$I = \frac{1}{6} \ln|(x+1)^{1/6}-2| – \frac{1}{12} \ln((x+1)^{1/3}+2(x+1)^{1/6}+4) + \frac{\sqrt{3}}{6} \arctan\frac{(x+1)^{1/6}+1}{\sqrt{3}} + C$$

 2. Izračunati dužinu luka krive

x(t)=4cos⁡3t,  y(t)=4sin⁡3 t od tacke A(-4,0) do tacke B(0,4)x(t) = 4 \cos^3 t,\; y(t) = 4 \sin^3 t

Formula za duzinu luka krive

L=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2 dt

Zadatak 2

2. Izračunati dužinu krive

Data je kriva: $$x(t)=4\cos^3 t, \quad y(t)=4\sin^3 t$$

Dužina krive od tačke \(A(-4,0)\) do \(B(0,4)\):

$$ L = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\, dt = \int_0^{\pi/2} \sqrt{(-12 \cos^2 t \sin t)^2 + (12 \sin^2 t \cos t)^2}\, dt $$

$$ L = \int_0^{\pi/2} 12 \cos t \sin t \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t}\, dt = \int_0^{\pi/2} 12 \cos t \sin t \, dt $$

$$ L = 12 \int_0^{\pi/2} \cos t \sin t \, dt = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 $$

Odgovor: Dužina krive je \(L = 6\)

GeoGebra Zadatci – Čist prikaz

3. Zadatak:
Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom krive

y=9x2+9

oko x-ose u drugom kvadrantu.

Radimo formulom:

V=π∫ab[f(x)]2dx

Zadatak 3

3. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom krive oko x-ose u drugom kvadrantu

Funkcija: $$y = \frac{9}{x^2 + 9}$$

Nakon ispitivanja toka funkcije, dobili smo grafik koji izgleda ovako:

Grafik funkcije

Integral za zapreminu rotacije oko x-ose:

$$ V = \pi \int_{-\infty}^{0} \left(\frac{9}{x^2 + 9}\right)^2 dx = \pi \int_{-\infty}^{0} \frac{81}{(x^2 + 9)^2} dx $$

Koristimo formulu:

$$ \int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^2} = \frac{x}{2 a^2 (x^2 + a^2)} + \frac{1}{2 a^3} \arctan\frac{x}{a} + C $$

Ovde: $$a = 3$$

Primena formule:

$$ \int \frac{81}{(x^2 + 9)^2} dx = \frac{9x}{2(x^2 + 9)} + \frac{3}{2} \arctan\frac{x}{3} + C $$

Računanje graničnih vrednosti:

$$ \lim_{x \to 0} \left(\frac{9x}{2(x^2 + 9)} + \frac{3}{2} \arctan\frac{x}{3}\right) = 0 $$

$$ \lim_{x \to -\infty} \left(\frac{9x}{2(x^2 + 9)} + \frac{3}{2} \arctan\frac{x}{3}\right) = -\frac{3\pi}{2} $$

Konačna zapremina:

$$ V = \pi \left(0 – \left(-\frac{3\pi}{2}\right)\right) = \frac{3\pi^2}{2} $$

GeoGebra Zadatak

4.Odrediti totalni diferencijal u tački A(1,2) funkcije:z=f(x,y)=3ln⁡(2x+x2+y2)+2yx

⁡\boxed{ dz = \left[ \frac{6\sqrt{5} + 3}{2\sqrt{5} + 5} + 4 (\ln 2)^2 \right] dx + \left[ \frac{6}{2\sqrt{5} + 5} + 2 \ln 2 \right] dy }

Zadatak 4

4. Odrediti totalni diferencijal u tački A(1,2)

Funkcija:

$$ z = f(x,y) = 3 \ln\left(2x + \sqrt{x^2 + y^2}\right) + 2^{y^x} $$

Parcijalni izvodi po x i y:

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = 3 \cdot \frac{2 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{2x + \sqrt{x^2 + y^2}} + \ln(2) \cdot 2^{y^x} \cdot y \cdot x^{y-1} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial y} = 3 \cdot \frac{\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}}{2x + \sqrt{x^2 + y^2}} + \ln(2) \cdot 2^{y^x} \cdot x^y $$

Totalni diferencijal:

$$ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy $$

U tački A(1,2):

$$ \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,2)} = 3 \cdot \frac{2 + \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}}}{2\cdot1 + \sqrt{1^2 + 2^2}} + \ln(2) \cdot 2^{2^1} \cdot 2 \cdot 1^{2-1} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(1,2)} = 3 \cdot \frac{\frac{2}{\sqrt{1^2 + 2^2}}}{2\cdot1 + \sqrt{1^2 + 2^2}} + \ln(2) \cdot 2^{2^1} \cdot 1^2 $$

Konačni totalni diferencijal u tački A(1,2):

$$ dz = \left[ 3 \cdot \frac{2 + \frac{1}{\sqrt{5}}}{2 + \sqrt{5}} + \ln(2) \cdot 2^2 \cdot 2 \right] dx + \left[ 3 \cdot \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{2 + \sqrt{5}} + \ln(2) \cdot 2^2 \cdot 1 \right] dy $$

5.a)Primenom određenog integrala izračunati površinu figure ograničene krivom y(x)=-x^2+5x-6 i x osom.

Formula za površinu između funkcije i x-ose:

P=∫ab∣f(x)∣ dxP = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx 2 P = \frac{x^3}{3} – \frac{5x^2}{2} + 6x \Big|_2^3 = \left( \frac{27}{3} – \frac{45}{2} + 18 \right) – \left( \frac{8}{3} – \frac{20}{2} + 12 \right)

Zadatak 5.a

Zadatak 5.a

Primenom određenog integrala izračunati površinu figure ograničene krivom:

y(x) = -x^2 + 5x – 6 i x-ose

Postupak:

  1. Posmatramo funkciju: $$y = -x^2 + 5x – 6$$
  2. Odredimo nule funkcije: $$-x^2 + 5x – 6 = 0 \implies x = 2, \; x = 3$$
  3. Funkcija je negativna na intervalu [2,3], pa koristimo minus ispred funkcije: $$P = \int_{2}^{3} -(-x^2 + 5x – 6) \, dx = \int_{2}^{3} (x^2 – 5x + 6) \, dx$$
  4. Pronađemo primitivnu funkciju: $$\int (x^2 – 5x + 6) \, dx = \frac{x^3}{3} – \frac{5x^2}{2} + 6x$$
  5. Računamo vrednost u granicama: $$P = \left[\frac{3^3}{3} – \frac{5 \cdot 3^2}{2} + 6 \cdot 3 \right] – \left[\frac{2^3}{3} – \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 6 \cdot 2\right]$$
  6. Pojednostavimo razlomke: $$P = (9 – \frac{45}{2} + 18) – (\frac{8}{3} – 10 + 12) = \frac{1}{6}$$

Rešenje: $$P = \frac{1}{6}$$

5.b)Odrediti ∫(x+3)e3x dx\int (x+3)e^{3x}\, dx

I = \int (x + 3) e^{3x} \, dx

I = \frac{1}{3} (x + 3) e^{3x} – \frac{1}{9} e^{3x} + C\boxed{I = \frac{1}{3} (x + 3) e^{3x} – \frac{1}{9} e^{3x} + C}

Zadatak 5.b

Zadatak 5.b

Odrediti integral:

$$I = \int (x + 3) e^{3x} \, dx$$

Postupak:

  1. Primena parcijalne integracije: $$\int u \, dv = uv – \int v \, du$$
  2. Postavimo: $$u = x + 3 \implies du = dx$$ $$dv = e^{3x} dx \implies v = \frac{1}{3} e^{3x}$$
  3. Primena formule: $$ I = u v – \int v \, du = (x+3) \cdot \frac{1}{3} e^{3x} – \int \frac{1}{3} e^{3x} dx $$
  4. Računanje preostalog integrala: $$ \int \frac{1}{3} e^{3x} dx = \frac{1}{9} e^{3x} $$

Rešenje:

$$I = \frac{1}{3} (x+3) e^{3x} – \frac{1}{9} e^{3x} + C$$

 

5.v)Izračunati integral:

I=∫03∣x−2∣ dx\int_0^2 (2 – x) \, dx = \left[ 2x – \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = (4 – 2) – 0 = 2I = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

Zadatak 5.v

Zadatak 5.v

Odrediti integral:

$$I = \int_{0}^{3} |x – 2| \, dx$$

Postupak:

  1. Pošto funkcija |x−2| menja znak u tački x=2, razdvajamo integral na dva dela: $$ I = \int_{0}^{2} (2 – x) \, dx + \int_{2}^{3} (x – 2) \, dx $$
  2. Računanje prvog integrala: $$ \int_{0}^{2} (2 – x) \, dx = [2x – \frac{x^2}{2}]_0^2 = (4 – 2) – 0 = 2 $$
  3. Računanje drugog integrala: $$ \int_{2}^{3} (x – 2) \, dx = [\frac{x^2}{2} – 2x]_2^3 = (\frac{9}{2} – 6) – (2 – 4) = \frac{1}{2} $$

Rešenje:

$$I = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$